Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.5.2. Линейное преобразование в базисе из собственных векторов

Вернёмся к подопытному линейному преобразованию Примера 137. Оно записано в матричной форме , а значит, задано в некотором базисе двумерного векторого пространства. Однако базисов в нём не счесть и мы можем перейти к произвольному базису, в результате чего получится другая (в общем случае) матрица того же самого преобразования в новом базисе.

Но базис базису рознь и есть особо удобные базисы….

Если линейный оператор n-мерного векторого пространства задан матрицей в некотором базисе и имеет линейно независимых собственных векторов (что бывает не всегда), то матрицу оператора можно представить в виде:

, где – матрица перехода к базису из собственных векторов, а – матрица того же линейного преобразования в базисе из собственных векторов. И «дэ» – это есть в точности диагональная матрица с соответствующими собственными числами.

В нашем двумерном примере собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны), а значит, образуют базис. Запишем матрицу перехода к этому базису: – напоминаю, что координаты нужно записывать в столбцы и строго по порядку – сначала первый вектор базиса, затем второй.

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа , а остальные элементы равняются нулю:

! И снова о важности порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима!

По стандартному алгоритму находим обратную матрицу . …Нет, это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Осталось записать линейное преобразование в виде :
, где – матрица данного линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Она проще, нежели .

Иногда представление называют каноническим или спектральным разложением матрицы .

Поскольку матрицы и подобны, то они обладают знакомыми инвариантами. А именно, равны их определители: , сразу оценИте удобство базиса: . И равны следы: .

Но это далеко не всё! Важнейший инвариант подобных матриц – это собственные числа, а значит, и их «родственник» – характеристический многочлен. В самом деле, составим характеристическое уравнение матрицы :

– в результате получен тот же самый многочлен с корнями , что и для матрицы в Примере 137.

Таким образом, линейное преобразование во всех возможных базисах имеет матрицы с одинаковым характеристическим многочленом и собственными числами. Собственные же векторы тоже сохранят направления, но будут менять координаты (от базиса к базису), т. к. новый базис меняет «координатную сетку» векторого пространства. Наглядная тому иллюстрация есть в Примере 129, если Вы потеряли «нить» темы.

Но достаточно мозголомства, вернёмся к практике :)

Пример 139

Записать каноническое разложение матрицы

Заметьте, что в условии ничего не сказано о линейном преобразовании, и поэтому решение лучше оформлять в контексте заданного вопроса: найдём собственные значения матрицы. Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

– в результате получены кратные (совпавшие) собственные числа.

Мысленно подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Что тут сказать? «Игрек» принудительно равен нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что . Не ленимся и даже в таких простых случаях проверяем, что пара удовлетворяет каждому уравнению системы!
Таким образом, кратным собственным числам соответствует одно множество коллинеарных векторов в «лице» собственного вектора , и поэтому канонического разложения матрицы не существует.

Почему разложения не существует?Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

Ответ: требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах. Кстати, об условии – его могут сформулировать и коварно: записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Коварство состоит в том, что здесь можно найти собственные числа и машинально дать нелегальный ответ . Но базиса-то из собственных векторов не существует!

И у этого примера есть простое геометрическое объяснение: матрица задаёт не что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одно множество коллинеарных друг другу векторов, которые сохраняют направление в результате преобразования (и длину тоже, коль скоро ).

И сейчас назрели важные вопросы:

6.5.3. Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

6.5.1. Как найти собственные значения и собственные векторы?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин