Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.5.3. Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

Что касаемо количества собственных чисел, то всё просто: у матрицы существует ровно собственных значений. Однако тут есть варианты.

Случай первый: они комплексные. Простейший пример:
– матрица поворота декартовой системы координат против часовой стрелки на угол , отличный от 180 и 360 градусов. Возьмём «школьный» угол в 30 градусов, запишем соответствующую матрицу поворота и составим характеристическое уравнение:

Оно имеет сопряжённые комплексные корни , и дальнейшее решение показывает, что у рассматриваемого преобразования нет действительных собственных векторов. Что очевидно – ведь при повороте на 30 градусов любой ненулевой вектор отображается в неколлинеарный ему вектор.

Случай второй, самый распространённый. Собственные числа матрицы действительны и различны (как, например, в Примерах 137, 138). Такое линейное преобразование имеет ровно собственных линейно независимых векторов, и его всегда можно записать в базисе из собственных векторов.

Случай третий, самый интересный. Среди собственных чисел есть кратные, или же только кратные, как в Примере 139. В этой ситуации неколлинеарных собственных векторов может оказаться… сколько угодно! Меньше, чем собственных чисел (недавний Пример 139). Может оказаться ровно штук, и тогда существует разложение .

А может – вообще бесконечно много! Например, поворот плоскости на 180 градусов. Ему соответствует матрица с характеристическим уравнением и кратными собственными числами. Продолжая стандартное решение, мы приходим к симпатичной системе: , которой удовлетворяют координаты вообще любого вектора. Таким образом, любой ненулевой вектор этого преобразования является собственным! Оно и неудивительно – ведь при повороте на 180 градусов любой ненулевой вектор отображается в коллинеарный и противоположно направленный ему вектор, например: , и, вынося собственное число из столбца: , мы убеждаемся в том, что – есть собственный вектор.

Следует отметить, что этот поворот – частный случай преобразования подобия, и у гомотетии, к слову, тоже, любой ненулевой вектор – собственный, а коэффициент подобия – есть не что иное, как собственное значение. Более того, матрица гомотетии (с тем или иным коэффициентом «ка»): – остаётся неизменной во всех базисах!

Однако не будем увлекаться геометрией и продолжим нарабатывать практику. Задачи с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Пример 140

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: по условию, требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа. Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-й степени и стать жертвой долгих мытарств. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:

Выполненное действие не привело к заметному результату, поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение (см. Приложение Горячие формулы), получаем . Таким образом:

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Не тушуйтесь, это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Теперь ищем собственные векторы, и это тоже небольшая мыльная опера:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему обычно решают методом Гаусса, но здесь быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим и подставим это «зет» во второе уравнение :

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.

Итак, , и «стильные» координаты нам даёт значение .

Собственный вектор:

И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу (см. начало пункта 1) получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим и подставим это «икс» в третье уравнение :

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .
Чтобы получить «красивые» координаты, придадим переменной «игрек» значение , тогда: .

Проверяем, что значения удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем второй собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:

Всё путём – из обоих уравнений вышла линейная зависимость – подставляем её в полученное ранее выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: , но на практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей. В некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда: и .

Проверяем, что трофеи удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор .

Ответ: собственные векторы:

Повторим смысл: эти векторы задают три различных пространственных «коридора», в которых линейное преобразование, заданное матрицей , переводит векторы в коллинеарные им векторы с коэффициентами и соответственно. Во всех других «коридорах» оператор меняет направление векторов.

Так как собственные числа действительны и различны, то векторы линейно независимы, а значит, существует каноническое разложение матрицы , где – матрица перехода к базису из собственных векторов (в столбцах их координаты), а – матрица данного линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Осталось только найти обратную матрицу , но не хочется.

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 141

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени (см. Пример 140). Системы можно решать разными путями – здесь нет однозначности. Векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат, а-ка и . Эстетичнее выбрать , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, и версия смотрится уже не айс. Примерный чистовой образец оформления задания в конце книги.

6.5.4. Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

6.5.2. Линейное преобразование в базисе из собственных векторов

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин