Ваш репетитор, справочник и друг! Высшая алгебра для начинающих |
6.5.4. Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом стиле: Пример 142 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Это эквивалентная формулировка задания, поскольку каждой квадратной матрице соответствует своё линейное преобразование (в некотором фиксированном базисе). Решение: составим и решим характеристическое уравнение: И тут, конечно же, оприходуем сказочный первый столбец: Дальше тоже всё сказочно: И, после разложения квадратного трёхчлена на множители: В результате получены собственные числа , два из которых кратны. Найдем собственные векторы: 1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме: Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы: Собственный вектор: 2-3) Теперь снимаем пару часовых. В случае двух совпавших собственных чисел может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений: А теперь факт: собственные векторы – это в точности векторы фундаментальной системы решений. Собственно, в предыдущих примерах мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до сего момента данный термин особо не требовался. Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: – единственное действие состояло в удалении лишних пропорциональных строк. Придерживаемся стандартной схемы решения однородной системы: Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (это хорошо видно и из системы уравнений). В контексте нашей задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец: . Найдём векторы фундаментальной системы, это опять же стандартное клише: Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто глядя на систему . Но это если случай простой. Кроме того, можно «углядеть» и другой набор собственных векторов, например: и . Этот вариант тоже годится, но не оптимален, поскольку второй вектор – это сумма векторов фундаментальной системы: . И после столь полезной информации запишем Аналогичный пример для самостоятельного решения: Пример 143 Найти собственные числа и собственные векторы Примерный образец чистового оформления в конце книги. В Примерах 142, 143 количество собственных векторов оказалось равно количеству собственных чисел, поэтому исходная матрица представима в каноническом виде . Но так бывает далеко не всегда: Пример 144 Найти собственные числа и собственные значения матрицы Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Определитель раскроем по первому столбцу: Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени: Найдем собственные векторы: 1) С корнем затруднений не возникает: Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения: Положим , тогда: и . Собственный вектор: 2-3) Для кратных значений получаем систему . Запишем матрицу системы и методом Гаусса приведём её к ступенчатому виду: Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: , и, придавая свободной переменной значение , получаем нашего героя: Ответ: , собственные векторы: . Очевидно, здесь невозможно представить матрицу в виде – по той простой причине, что не существует базиса из собственных векторов. Они хоть и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор. Следующее задание…, да нет, пожалуй, достаточно :) И я поздравляю Вас с успешным (надеюсь) освоением курса! Дополнительные источники информации я уже рекомендовал в конце параграфа о евклидовом пространстве. Также в рамках блога мы обсуждаем доступную литературу, и не только, разумеется, по алгебре. ...И что-то мне подсказывает, что многие воодушевились! В самом начале я открыл Вам Врата алгебры, чтобы заботливо сопроводить до другой двери: 6.6. Гомоморфизм алгебраических структур 6.5.3. Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов? Автор: Aлeксaндр Eмeлин |
|