Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.5.4. Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом стиле:

Пример 142

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Это эквивалентная формулировка задания, поскольку каждой квадратной матрице соответствует своё линейное преобразование (в некотором фиксированном базисе).

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

И тут, конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

Дальше тоже всё сказочно:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:

и лучшей комбинации не найти: .

Собственный вектор:

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В случае двух совпавших собственных чисел может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений:

А теперь факт: собственные векторы – это в точности векторы фундаментальной системы решений. Собственно, в предыдущих примерах мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до сего момента данный термин особо не требовался.

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: – единственное действие состояло в удалении лишних пропорциональных строк.

Придерживаемся стандартной схемы решения однородной системы:
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два.

Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (это хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте нашей задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец: . Найдём векторы фундаментальной системы, это опять же стандартное клише:
паре соответствует вектор ;
паре соответствует вектор .

Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто глядя на систему . Но это если случай простой. Кроме того, можно «углядеть» и другой набор собственных векторов, например: и . Этот вариант тоже годится, но не оптимален, поскольку второй вектор – это сумма векторов фундаментальной системы: .

И после столь полезной информации запишем
ответ: , собственные векторы: .

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 143

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце книги.

В Примерах 142, 143 количество собственных векторов оказалось равно количеству собственных чисел, поэтому исходная матрица представима в каноническом виде . Но так бывает далеко не всегда:

Пример 144

Найти собственные числа и собственные значения матрицы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1) С корнем затруднений не возникает:

Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:
.

Положим , тогда: и .

Собственный вектор:

2-3) Для кратных значений получаем систему .

Запишем матрицу системы и методом Гаусса приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.
(2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.
(3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Йордана-Гаусса: к первой строке прибавили вторую строку.
(4) У первой строки сменили знак.

Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: , и, придавая свободной переменной значение , получаем нашего героя:

Ответ: , собственные векторы: .

Очевидно, здесь невозможно представить матрицу в виде – по той простой причине, что не существует базиса из собственных векторов. Они хоть и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор.

Следующее задание…, да нет, пожалуй, достаточно :)

И я поздравляю Вас с успешным (надеюсь) освоением курса!

Дополнительные источники информации я уже рекомендовал в конце параграфа о евклидовом пространстве. Также в рамках блога мы обсуждаем доступную литературу, и не только, разумеется, по алгебре.

...И что-то мне подсказывает, что многие воодушевились!

В самом начале я открыл Вам Врата алгебры, чтобы заботливо сопроводить до другой двери:

6.6. Гомоморфизм алгебраических структур

6.5.3. Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин