Ваш репетитор, справочник и друг! Высшая алгебра для начинающих |
3.4. Корни многочленаРассмотрим полином степени с комплексными коэффициентами (в частности, они могут быть действительными, рациональными, целыми или даже натуральными). Комплексное число («цэ») называют корнем многочлена, если оно является корнем уравнения . Иными
словами, при подстановке этого значения в многочлен получается ноль: Неоправданно «громкое» название, но так оно сложилось: основная теорема алгебры: всякий многочлен (см. выше), отличный от константы, имеет по крайне мере один корень, в общем случае комплексный. И практически более важное следствие основной теоремы алгебры: многочлен имеет ровно комплексных корней. Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень этого многочлена (напоминаю, что сопряжённые комплексные числа имеют вид ). Это, к слову, ещё одно из следствий. Некоторые корни многочлена (или даже все) могут быть в частности действительными. При этом среди действительных корней могут встретиться кратные (одинаковые) корни (минимум два, максимум штук). На практике чаще всего встречаются многочлены с действительными, более того, целыми коэффициентами , и для них, естественно, все эти выкладки в силе. Далее, если не сказано иного, имеем в виду действительные коэффициенты. Так, многочлен 1-й степени имеет один действительный
корень. Чтобы его найти нужно решить элементарное линейное уравнение: Найдём, например, корень многочлена . Для этого решим соответствующее линейное уравнение: . И в самом деле, при подстановке этого значения в многочлен: – получается ноль. Многочлен 2-й степени имеет ровно два корня. Квадратное уравнение мы уже исследовали вдоль и поперёк и выяснили, что оно имеет либо два действительных корня (различных или кратных), либо два сопряжённых комплексных корня. В простейшем случае , кстати, получаются кратные корни , ну и популярнейший школьный вариант а-ля – это различные действительные корни: . Если же корни комплексные, то они непременно сопряжены по отношению друг к другу, согласно утверждению выше. Полином 3-й степени имеет ровно три корня, при этом хотя бы один из них – действительный. Последний факт, к слову, справедлив для любого многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами. Простейший экземпляр обладает тремя кратными корнями . И есть частные случаи, с решением которых нет проблем – это когда свободный член . В таких примерах просто выносим «икс» либо «икс квадрат» за скобку, например: Более трудная ситуация, это когда ВСЕ коэффициенты многочлена не равны нулю (полегче будет при ). Но существуют формулы Кардано, которые позволяют найти , в том числе выразить иррациональные корни точно, если таковые есть. Для многочлена 4-й степени тоже
существует аналитический метод нахождения корней (метод Феррари), но в простых частных случаях он ни к чему. Так, если , то опять выполняем вынесение за скобки ( или ). Особой и важной разновидностью является многочлен вида . Чтобы найти его корни нужно решить биквадратное уравнение: Оно сводится к квадратному уравнению путём замены : Пример 37 Найти корни многочлена Решение: решим биквадратное уравнение: Проведём замену : Вычислим дискриминант (Приложение Горячие формулы, кто не запомнил формулы) и корень из него: Находим корни и вспоминаем, что : Ответ: В этом примере получились действительные корни, но очевидно, биквадратное уравнение может иметь пару или даже две сопряжённых комплексных корней. Если для многочленов 3-й и 4-й степени всё ещё существуют формулы нахождения корней, то для старших собратьев ситуация куда более грустная. Зачастую корни приходится подбирать вручную, и мы познакомимся как раз с этим алгоритмом. Дело в том, что во многих темах вышмата нахождение корней – это всего лишь вспомогательная задача. Именно поэтому в рамках этой книги я не разобрал громоздкие формулы Кардано и кропотливый алгоритм Феррари. Как говорится, Гугл в помощь, ничего сложного там нет. Самостоятельно решаем более актуальные примеры: Пример 38 Найти корни следующих многочленов: сверяемся и продолжаем: 3.4.1. Как найти рациональные корни многочлена? Автор: Aлeксaндр Eмeлин |
|