Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

3.4.1. Как найти рациональные корни многочлена?

В большинстве задач, как вы уже заметили, нам встречаются многочлены с целыми коэффициентами. И очень часто нужно узнать, есть ли у такого многочлена рациональные, в частности целые корни?

Вот у многочлена – есть они или нет? Свободный член здесь не равен нулю, и отделаться «малой кровью», как в предыдущих примераx, вряд ли получится. Но мы попробуем. И первое, что приходит в голову – это метод научного, а точнее, практического тыка :) Метод подбора наудачу.

Просто начинаем подставлять в уравнение различные целые числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное числовое равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! Таким образом, значение является корнем данного уравнения и соответствующего многочлена.

Но возникает вопрос: а нет ли подобных корней ещё? Как быть?

Использовать следствие теоремы Безу. Да, сначала приведу следствие: число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен без остатка. При этом получается многочлен степенью ниже: .

И переписав сей факт в виде , выясняется очень крутая вещь: если мы нашли какой-либо корень многочлена , то можем выполнить деление, найти более простой многочлен и из уравнения вытряхивать другие корни!

В нашем скромном примере был подобран корень , а значит, при делении – получится многочлен второй степени. Представив исходный многочлен в виде , становится ясно, что остальные корни многочлена элементарно достаются из квадратного уравнения . Найдём соответствующий многочлен, делим «столбиком»:

Таким образом, и осталось разобраться с квадратным уравнением . Вычислим дискриминант: , и коль скоро он таков, то получаются сопряжённые комплексные корни: .

В результате все корни многочлена найдены: .

Но чаще, повторюсь, нас будут интересовать корни рациональные, целые. И для таких корней метод подбора действительно заманчив. Но процесс может затянуться:
1, –1, 2, –2, 3, –3, … (порядок перебора обычно таков)

…А может быть какие-то значения из этого списка и рассматривать-то смысла нет? А может корень дробный? – элементарно , а мы тут сидим, паримся с целыми числами. А что, если рациональных корней нет вообще?

К счастью, существует теорема (и не одна), которая позволяет значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни.

Теорема: рассмотрим несократимую дробь , где , а . Если число является корнем многочлена с целыми (!) коэффициентами , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .

Заметьте, что теорема не гарантирует наличие рационального корня (естественно), но уж если он есть: (дробь несократима!!), то свободный член обязательно делится на , а старший коэффициент – на . В частности, при знаменатель дроби равен единице. Таким образом, рациональные корни такого многочлена (если они существуют) могут быть только целыми: .

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности. Вернёмся к многочлену . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата» в корни. И, согласно Теореме, другие рациональные числа не могут быть корнями этого уравнения В ПРИНЦИПЕ.

Подбор корней чаще всего проводят «цивилизованным» способом:

3.4.2. Схема Горнера

3.4. Корни многочлена

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин