Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

2.1.7. Извлечение корней из комплексных чисел

Наконец-то. Меня всю дорогу «подмывало» привести этот маленький примерчик:

…Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. Но в комплексных числах извлечь корень можно! Точнее, два корня:

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: . Заметьте, что они являются сопряжёнными.

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных действительных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т. д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, мы узнаем совсем скоро, но сначала нечто знакомое:

Пример 14

Решить квадратное уравнение

Решение проведём по известным формулам (см. Приложение Горячие формулы).

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

В результате получаем:

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Нетрудно понять, что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда имеет два корня! И не за горами глава, где мы здОрово разовьём эту тему.

Простенький пример для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной «школьной» формуле (см. Приложение Горячие формулы).

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение вида , где – натуральное число, бОльшее единицы, а – известное комплексное число. Перепишем уравнение в виде , то есть, сведём его к извлечению корня «энной» степени из числа . В частности, при получается квадратный корень из «дубльвэ»: . Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который будет рассмотрен позже. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного натурального «эн», бОльшего единицы:

Уравнение вида , где – известное комплексное число, имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения: .
Геометрические все корни расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и представляют собой вершины правильного -угольника (всё увидим).

Сначала для разминочки квадрат:

Пример 16

Найти корни уравнения

Решение: перепишем уравнение в виде . В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и , и общую формулу (см. выше) удобно сразу детализировать:
,

Найдём модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается в первой четверти, поэтому .

Для самоконтроля можно изобразить число на черновике.

Теперь ещё более детализируем формулу:

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: ,

При желании или требовании задания, полученные корни нетрудно перевести обратно в алгебраическую форму, тем более, здесь получились «хорошие» аргументы, который есть в Таблице значений тригонометрических функций (см. Приложение Тригонометрические таблицы).

Рассмотрим более содержательное задание:

Пример 17

Найти корни уравнения , где

Решение: сначала представим уравнение в виде . Если , то противоположное число: . Переобозначим «минус альфа» формульной буквой: . Таким образом, получаем уравнение :

Для разрешения уравнения относительно «зет» извлечём корень 3-й степени из обеих частей, в результате чего задача сведётся к извлечению корня :

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , , .

Детализирую общую формулу:
,

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается во второй четверти, поэтому:

Ещё раз детализирую формулу, сразу упрощая корень :
,

Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение и получаем третий корень:

Часто полученные корни требуется изобразить графически.

Как выполнить чертеж?

Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и тонко чертим циркулем окружность данного радиуса (синий цвет на чертеже). Все корни будут располагаться на этой окружности:

Теперь берём аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на окружности точку .

Берём аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

И по такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами, а если точки соединить смежными отрезками, то получится правильный треугольник (зелёный цвет), каждый угол которого . И если у вас что-то «не срастается» с симметрией, то ищите ошибку в решении.

Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент, скорее всего, это заметит и с высокой вероятностью поставит «минус» за чертеж.

Следующее задание для самостоятельного решения

Пример 18

Вычислить . Изобразить корни на чертеже.

Сверяемся с образцом и переходим к насыщенному практикуму по теме:

2.2. Выражения с комплексными числами

2.1.6. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин