2.1.6. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра
Начнем со всеми любимого квадрата:
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Решение: здесь можно пойти несколькими путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения (см. Приложение Горячие формулы):
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичные формулы можно вывести для квадрата
разности, а также для куба сумма и куба разности. Но все они более актуальны в задачах комплексного анализа, поэтому сейчас я
воздержусь от подробных выкладок.
Хорошо, с квадратом и кубом разобрались. Но что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень?
Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И это ещё только десять множителей.
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа. Но прежде я
познакомлю вас с обещанной формулой:
Чтобы перемножить два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме , , нужно перемножить их модули, а аргументы
– сложить:
Но когда вам предложено вычислить , так извращаться,
конечно, не надо J Зато этот способ невероятно эффективен при возведении числа в высокие степени:
В результате получается так называемая, формула Муавра:
Если комплексное число – представлено в тригонометрической форме, то при его возведении в натуральную
степень справедлива
формула
Аналогично для показательной формы: если , то:
и формула Муавра принимает вид:
Просто до безобразия:
Пример 10
Дано комплексное число , найти .
Решение: сначала нужно представить данное число в тригонометрической
форме, что мы уже сделали в Примере 8:
Тогда, по формуле Муавра:
паси вас, не нужно считать на калькуляторе , а вот
угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас
оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь
правильной: , после чего становится хорошо видно, что
можно убавить один оборот: (надеюсь всем понятно,
что и – это один и тот же угол).
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т. е. убавить ещё один оборот и получить
значение аргумента в стандартном виде).
Хотя, – это ни в коем случае не ошибка,
впрочем, всё зависит от блажи рецензента.
Решаем самостоятельно:
Пример 11
Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в
алгебраической форме.
Полное решение и ответ в конце книги.
Отдельный жанр – это возведение в степень чисто мнимых чисел:
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа , ,
Решение: здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитый факт .
Если мнимая единица возводится в чётную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечётную степень, то сначала «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть «минус» (или любой действительный коэффициент), то его удобно предварительно отделить:
Пример 13
Возвести в степень комплексные числа ,
Это пример для самостоятельного решения.
2.1.7. Извлечение корней из комплексных чисел
2.1.5. Показательная форма комплексного числа
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|