2.1.6. Возведение комплексных чисел в степень.
Формула Муавра

Начнем со всеми любимого квадрата:

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Решение: здесь можно пойти несколькими путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения (см. Приложение Горячие формулы):

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичные формулы можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но все они более актуальны в задачах комплексного анализа, поэтому сейчас я воздержусь от подробных выкладок.

Хорошо, с квадратом и кубом разобрались. Но что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И это ещё только десять множителей.

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа. Но прежде я познакомлю вас с обещанной формулой:

Чтобы перемножить два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме , , нужно перемножить их модули, а аргументы – сложить:

Но когда вам предложено вычислить , так извращаться, конечно, не надо J Зато этот способ невероятно эффективен при возведении числа в высокие степени:

В результате получается так называемая, формула Муавра:

Если комплексное число – представлено в тригонометрической форме, то при его возведении в натуральную степень справедлива формула

Аналогично для показательной формы: если , то:
и формула Муавра принимает вид:

Просто до безобразия:

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Решение: сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме, что мы уже сделали в Примере 8:

Тогда, по формуле Муавра:

паси вас, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: (надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол).