Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих



2.1.6. Возведение комплексных чисел в степень.
Формула Муавра


Начнем со всеми любимого квадрата:

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Решение: здесь можно пойти несколькими путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения  (см. Приложение Горячие формулы):

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичные формулы можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но все они более актуальны в задачах комплексного анализа, поэтому сейчас я воздержусь от подробных выкладок.

Хорошо, с квадратом и кубом разобрались. Но что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И это ещё только десять множителей.

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа. Но прежде я познакомлю вас с обещанной формулой:

Чтобы перемножить два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме , , нужно перемножить их модули, а аргументы  сложить:

Но когда вам предложено вычислить , так извращаться, конечно, не надо J Зато этот способ невероятно эффективен при возведении числа в высокие степени:

В результате получается так называемая, формула Муавра:

Если комплексное число  – представлено в тригонометрической форме, то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула

Аналогично для показательной формы: если , то:
 и формула Муавра принимает вид:

Просто до безобразия:

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Решение: сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме, что мы уже сделали в Примере 8:
 

Тогда, по формуле Муавра:

паси вас, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря,  нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:  (надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол).

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
 (т. е. убавить ещё один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя,  – это ни в коем случае не ошибка, впрочем, всё зависит от блажи рецензента.

Решаем самостоятельно:

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Полное решение и ответ в конце книги.

Отдельный жанр – это возведение в степень чисто мнимых чисел:

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Решение: здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитый факт .

Если мнимая единица возводится в чётную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечётную степень, то сначала «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть «минус» (или любой действительный коэффициент), то его удобно предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

2.1.7. Извлечение корней из комплексных чисел

2.1.5. Показательная форма комплексного числа

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин



  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.