Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

2.2. Выражения с комплексными числами

Выше мы изучили отдельные арифметические действия с комплексными числами: сложение, умножение и так далее. Но на практике эти действия часто комбинируются, в результате чего получается целое выражение с комплексными числами:

Пример 19

Даны комплексные числа .

Выполнить следующие действия: (классика), и

Решение: для комплексных чисел работает «обычный» алгебраический порядок действий. Сначала выполняется умножение / деление, затем – сложение /вычитание:
, надеюсь, все помнят, что .

Скобки меняют порядок действий (сначала выполняем, то, что в скобках):

Если число находится в степени / под корнем, то эти действия имеют более высокий приоритет, нежели сложение / вычитание и умножение / деление:

(использовали формулу )

Если под степенью находится выражение, то во многих случаях сначала удобнее вычислить его: , хотя здесь реально и загадочное решение

Ответ:

Разминаемся самостоятельно:

Пример 20

Даны комплексные числа

Вычислить и – двумя способами: напрямую, и предварительно раскрыв скобки.

…Никто не запутался? ;) Тогда приступаем к более содержательным заданиям:

Пример 21

Упростить выражение , если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.

Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.

Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением удобнее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если-таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.

1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение , раскроем скобки и поправим причёску:

…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…. Главное, быть внимательным и не запутаться в корнях и знаках.

2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то:

Заметьте, в какой непривычной редакции использована формула квадрата суммы . Также здесь можно выполнить перестановку под формулу , но это не есть хорошо – по той причине, что на первом месте всё-таки принято располагать действительную часть числа.

3) И, наконец, всё выражение. Если , то:

(прерываем решение для промежуточных объяснений)

Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число: . После чего на нижнем этажеиспользуем формулу разности квадратов , а на верхнем – раскрываем скобки:

– на завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак!

А сейчас ключевое правило, которое, вы, наверное, уже прочувствовали:

НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ!
Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
Самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда!

Обозначим наше достижение буквой и представим его в тригонометрической форме. Здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро требуется:

Вычислим модуль комплексного числа: . Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.

Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то:
Угол элементарно проверяется транспортиром, и в этом несомненная польза чертежа.

Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.

Выполним проверку:

, в чём и требовалось убедиться.

Напоминаю, что «стандартные» значения синуса и косинуса удобно находить по Таблице значений тригонометрических функций (см. Приложение Тригонометрические таблицы). Если вы не помните её наизусть, конечно.

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 22

Упростить выражение , где . Изобразить полученное число на комплексной плоскости и записать его в показательной форме.

Не пропускаем учебные примеры!! Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку». Решение для сверки в конце книги.

Нередко задача допускает не единственный путь решения:

Пример 23

Вычислить , если ,

Решение: прежде всего, обратим внимание на оригинальное условие – одно число представлено в алгебраической, а другое – в тригонометрической форме, да ещё и с градусами. Давайте сразу перепишем его в более привычном виде: , справочные формулы перехода от градусов к радианам и обратно есть в том же Приложении Тригонометрические формулы.

Как решить предложенное выражение? В принципе, здесь можно раскрыть скобки , возвести числа в степень и выполнить умножение. Но рациональнее, конечно, сразу перемножить числа, и затем возвести в степень результат. Поскольку степень у нас 10-я, то, очевидно, придётся использовать формулу Муавра, которая сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Таким образом, более логично преобразовать первое число. Найдём его модуль и аргумент:

В результате: .

Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

если , то

В нашем случае:

Далее применяем формулу Муавра , которая является следствием указанного выше правила:

Делая дробь правильной: , приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.). В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому

ответ:

Но для «красоты» либо по требованию ответ легко перевести в алгебраическую форму: .

Следует заметить, что в этой задаче можно было сначала перевести второе число в алгебраическую форму , выполнить умножение в алгебраической форме, затем перевести результат в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра. Но тут будет одно «лишнее» действие. Рекомендую довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.

Самостоятельно:

Пример 24

Упростить выражение

Здесь нужно вспомнить ходовые действия со степенями (на всякий случай включил в Приложение Горячие формулы), в частности .

И ещё одно важное замечание: этот пример можно решить в двух стилях.
Первый вариант – работать с двумя числами и мириться с дробями.
Второй вариант – представить каждое число в виде частного двух чисел:
и избавиться от четырёхэтажности (таки тоже добавил в Приложение Горячие формулы).

С формальной точки зрения без разницы, как решать, но содержательное отличие есть! Пожалуйста, хорошо осмыслите вышесказанное:
– это комплексное число;
– то же самое число, представленное в виде частного двух комплексных чисел ( и ).

Краткое решение и ответ в конце книги.

Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:

2.3. Уравнения с комплексными числами

2.1.7. Извлечение корней из комплексных чисел

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин