1.1.7. Композиция отображений

Нет, это не композиции Моцарта или Чайковского :) А более общий случай – речь идёт о композиции действий: взяли глину и вылепили горшок, затем взяли горшок и обожгли его печи. Действие – результат, действие над результатом – результат.

Композицией отображений и называется отображение , которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент (либо элементы) множества .

Обратите внимание, что отображения и не обязаны быть однозначно определёнными функциями, тем более взаимно однозначными.

Вернёмся к функции , которая каждому студенту из множества ставит в соответствие свою тему реферата из множества . Эта функция, и она биективна. Преподаватель проверил работы и поставил в соответствие каждому реферату оценку из множества . Это тоже функция, но уже не взаимно однозначная, поскольку одной и той же оценке может соответствовать несколько рефератов.

Композиционное преобразование ставит в соответствие каждому студенту оценку за реферат. В функциональном «школьном» стиле это запишется так: и .

Если же обе функции и биективны, то их композиция – тоже биекция.

К примеру, увеличим «икс» на три , а затем возведём число «е» в эту степень: – в результате получена взаимно однозначная функция, поскольку функции и , очевидно, биективны. Более того, композиция биективных функций обратима: всегда и однозначно можно выяснить исходное значение «икс»: .

И другой важный факт: в общем случае композиция не перестановочна . Так, если «икс» сначала возвести в квадрат, а затем найти синус, то получится функция . Если же сначала найти синус икс, а затем возвести результат в квадрат, то получится другая функция: .

Композиционные функции называют сложными, и этот термин многим из вас хорошо знаком. Образно говоря, в композициях одна функция вложена в другую.

1.2. Основы математической логики

1.1.6. Обратное отображение

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин