Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

1.2. Основы математической логики

И не только математической, а вообще здравой, как я уже отмечал.

1.2.1. Высказывания и высказывательные формы

Высказывание – это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами , а их истинность / ложность единицей и нулём соответственно:
– данная запись (не путать с модулем!) сообщает нам о том, что высказывание истинно;
– а эта запись – о том, что высказывание ложно.

Например:
– люди не летают как птицы;
– Земля плоская;
– дважды два будет два;
– пять больше, чем три.

Совершенно понятно, что высказывания и истинны: ,
а высказывания и – ложны: .

Разумеется, далеко не все предложения являются высказываниями. К таковым, в частности относятся вопросительные и побудительные предложения:
Вы не подскажете, как пройти в библиотеку?
Пойдём в баню!

Очевидно, что здесь не идёт речи об истине или лжи. Как не идёт о них речи и в случаях неопределённости или неполной информации:

Завтра Петя сдаст экзамен – даже если он всё выучил, то не факт, что сдаст; и наоборот – если ничего не знает, то может и сдаст «на шару». …Да ладно, Петь, не переживай – сдашь =)

– а тут мы не знаем, чему равно «эн», поэтому это тоже не высказывание.

Однако последнее предложение можно доопределить до высказывания, а точнее, до высказывательной формы, указав дополнительную информацию об «эн». Как правило, высказывательные формы записываются с так называемыми кванторами. Их два:

– квантор общности (перевёрнутая буква A – от англ. All) понимается и читается как «для всех», «для любого (ой) (ых) »;

– квантор существования (развёрнутая буква E – от англ. Exist) понимается и читается как «существует».

Примеры:
– для любого натурального числа выполнено неравенство . Данная высказывательная форма ложна, поскольку ей, очевидно, не соответствуют натуральные числа .
– а вот это высказывательная форма уже истинна, как истинно и, например, такое утверждение:
…Ну а что, разве существует натуральное число, которое меньше, чем –10?

Проговариваем высказывательные формы вслух!!!

…Молодцы! Какой дружный хор! И я предостерегаю вас от опрометчивого использования квантора общности, ибо «для любого» может на поверку оказаться вовсе не для любого.

Далее. Я мыслю, значит, я существую:
– существует натуральное число, которое больше двух. Истина.

А вот это вот: – Ложь. И поспорить трудно.

Нередко кванторы работают «в одной упряжке»:
– для любого вектора «а» существует противоположный ему вектор. Прописная истина, а точнее, аксиома (утверждение, принимаемое без доказательства) векторного пространства.

Обратите внимание, что квантор существования подразумевает сам факт существования объекта (хотя бы одного), который удовлетворяет определённым характеристикам. Пусть в мире существуют единственный снежный человек, но существуют же. …Или нет? Более того, в математике (как школьной, так и высшей) доказывается великое множество теорем на существование и как раз единственность чего-либо. Доказательство такой теоремы состоит из двух частей:

1) Существование объекта, удовлетворяющего определённым критериям. В этой части обосновывается сам факт его существования.

2) Единственность данного объекта. Этот пункт доказывается, как правило, методом от противного, т. е. предполагается, что существует 2-й объект с точно такими же характеристиками и затем это предположение опровергается.

Школьников, впрочем, стараются не пугать подобной терминологией, и теорема часто преподносится в завуалированном виде, например:

В любой треугольник можно вписать окружность, причём, только одну

Кстати, а что такое вообще теорема? Логическую суть этого страшного слова мы узнаем очень скоро….

1.2.2. Логические операции (действия над высказываниями)

1.1.7. Композиция отображений

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин