3.4.3. Как определить корни многочлена графически?

В некоторых ситуациях бывает удобно использовать графический метод нахождения рациональных корней. Более того, есть задачи, где нужно выяснить – а имеет ли многочлен / уравнение хоть какие-то действительные корни? И если да, то примерно где находятся эти корни – на каких промежутках? Сначала наш подопытный многочлен:

Пример 42

Определить количество действительных корней графическим методом.

Решение: задачу сведём к графическому решению уравнения . Этот метод известен ещё со времён школы, но я повторю его и здесь – в контексте нашей темы.

Запишем уравнение в виде и построим графики функций (поточечно) и (по двум точкам). По чертежу видно, что графики пересекаются в единственной точке, значит, уравнение имеет один вещественный корень. И этот корень – есть абсцисса («иксовая координата») точки пересечения. Ну а то, что он оказался целым – уже приятная частность.

Ответ: один

Как вариант, можно было рассмотреть уравнение , поточечно построить график и выяснить, где он пересекает ось абсцисс . Но этот вариант менее предпочтителен, по той причине, что кубическую функцию в общем случае строить не сильно удобно. Да и знать ещё нужно, как она выглядит ;)

К слову, многочлен и функция-многочлен , это, строго говоря, не одно и то же. Но не будем вдаваться в детали, то для сведения….
И парочка примеров для самостоятельного решения:

Пример 43

Графическим методом определить количество действительных корней многочлена и указать единичные отрезки, на которых расположены эти корни:
а)
б) , и справка: график функции похож на «школьную» параболу , но более уплощён снизу и имеет более крутые ветви.

Следует заметить, что графический метод удачно срабатывает как раз в таких случаях – когда есть старший член + младший двучлен для построения прямой. И коль скоро место осталось на странице, то само провИдение за то, чтобы я всё-таки рассказал о графиках! Сейчас только скопирую откуда-нибудь пару чертежей…:

Типичный график функции-многочлена нечётной степени имеет вид «молнии» (чертёж слева). Принципиально так же выглядят графики 5, 7, 9 и т. д. степеней, только «загогулин» там будет больше, в зависимости от степени. И здесь мы наглядно убедились в том, что многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень.

График функции-многочлена чётной степени принципиально имеет вид параболы, чаще всего с промежуточными извилинами (чертёж справа), количество которых опять же зависит от степени. Многочлен чётной степени может и не иметь действительных корней – в тех случаях, когда «парабола» полностью лежит выше или ниже оси .

Вот, пожалуй, и вся практически важная информация о многочленах. Желающие могут ознакомиться с богатой теорией и дополнительной практикой этого раздела алгебры в сторонних источниках.

4. Матрицы и определители

3.4.2. Схема Горнера

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин