4.11.4. Вынесение множителя из строки (столбца) определителя

Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель.

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте матрицами, в матрице множитель вносится / выносится у ВСЕХ чисел сразу

Начнём с частного случая – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».

Встречаем очередного пациента: .

В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество. Вынесем –1 из первой строки, распишу очень подробно:

и короче, как обычно оформляют решение на чистовик:

Но минус перед определителем – не есть удобно. Смотрим на вторую строку и замечаем, что минусов там тоже многовато. Вынесем «минус» из этой строки:

Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца:

Разумеется, работает и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя. Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:

Дотошные читатели могут убедиться в равенстве исходного и полученного определителей.

На практике чаще всего вносят минус. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и вносим:

Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь далее), то, безусловно, стОит. Но если предстоит раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только усложнит решение.

Однако если множитель велИк, например, 13, 17 и т. п., то его, конечно, лучше вынести. Познакомимся с маленьким монстром: . Из первой строки вынесем –11, из второй строки вынесем –7, и никаких хлопот:

Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или 4-го порядка с большими числами, то стучать по кнопкам уже не сильно захочется.

Пример 72

Вычислить определитель, используя вынесение множителей из строк и столбцов

Это пример для самостоятельного решения. Ваша версия решения может отличаться от образца в конце книги.

4.11.5. Когда определитель равен нулю?

4.11.3. Парная перестановка строк (столбцов)

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин