4.11.5. Когда определитель равен нулю?

Начнём с самого очевидного признака. Если в определителе есть нулевая строка или нулевой столбец, то он равен нулю. Например:

«Любительская» проверка элементарна, раскроем определитель по 1-му столбцу:

Считать миноры «два на два», само собой, нет никакого смысла. К слову, проверку легко осуществить и по любой другой строке или столбцу

Признак второй. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (в частности, одинаковы), то данный определитель равен нулю.

В следующем примере пропорциональны соответствующие числа 1-й и 2-й строк, грубо говоря, первая строка в два раза больше второй:

А вот здесь пропорциональны все три столбца (и строки, кстати, тоже):

причём, второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице.

Использовать ли это свойство на практике? С осторожностью. Вот здесь повышенный уровень знаний бывает наказуем ;-) Поэтому, возможно, лучше раскрывать такие определители обычным способом (зная наперёд, что получится ноль).

Следует отметить, что это были лишь очевидные признаки. Если в определителе нет нулевых и нет пропорциональных строк / столбцов, то он всё равно может оказаться нулевым!

Если определитель равен нулю, то говорят, что его строки (а значит, и столбцы) линейно зависимы, и эта зависимость может быть спрятана от наших глаз. Понятие линейной зависимости фигурирует в курсе аналитической геометрии, и кто с ней успел ознакомиться, тому будет легче.

Пришло время выжать стакан апельсинового сока:

Какие свойства определителей полезно знать?

1) Значение определителя не меняется при транспонировании. Свойство малополезно для практики, но запомнить его нужно обязательно.

2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.

3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (или внести его). Используем там, где это выгодно.

4) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю. Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Пользуемся с осторожностью. Да, и даже если вы не видите этих признаков, то определитель всё равно может быть нулевым.

На протяжении всей темы неоднократно наблюдалась простая и логичная закономерность – чем больше в строке (или столбце) нулей, тем легче вычислить определитель. И возникает логичный вопрос, а нельзя ли нули организовать специально – с помощью какого-нибудь преобразования?

Можно! Встречайте убойный гвоздь программы:

4.12. Понижение порядка определителя

4.11.4. Вынесение множителя из строки (столбца)

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин