1.2.6. Импликация. Необходимое условие. Достаточное условие

До боли знакомые обороты: «следовательно», «из этого следует это», «если, то» и т. п. Импликацией высказываний (посылка) и (следствие) называют высказывание , которое ложно в единственном случае – когда истинно, а – ложно:

Фундаментальный смысл этой операции таков (читаем и просматриваем таблицу сверху вниз):
из истины может следовать только истина и не может следовать ложь;
изо лжи может следовать всё, что угодно (две нижние строчки), при этом:
истинность посылки является достаточным условием для истинности заключения ,
а истинность заключения – является необходимым условием для истинности посылки .

Разбираемся на конкретном примере. Составим импликацию высказываний – идёт дождь и – на улице сыро:

Если оба высказывания истинны , то само собой истинна и импликация – если на улице идёт дождь, то на улице сыро. При этом не может быть такого, чтобы дождь шёл , а на улице было сухо :

Если же дождя нет , то на улице может быть как сухо :
,
так и сыро :
(например, по причине того, что растаял снег).

А теперь ВДУМЫВАЕМСЯ в эти «штампованные» слова необходимость и достаточность: дождь является достаточным условием для того, чтобы на улице было сыро. С другой стороны, сырость на улице лишь необходима для предположения о том, что прошёл дождь (ибо если сухо – то дождя точно не было).

Обратная же импликация в этом примере нелегальна: – сырости на улице ещё не достаточно для обоснования факта дождя, и, кроме того, дождь ведь не является НЕОБХОДИМОЙ причиной сырости (т.к., например, может пройти и растаять град).

Вроде бы должно быть понятно, но на всякий случай ещё несколько примеров:
– Чтобы научиться выполнять действия с матрицами, необходимо уметь складывать и умножать числа. Но этого, как вы понимаете, ещё не достаточно.
– Чтобы научиться выполнять арифметические действия достаточно окончить 3 класса. Но это не является условием необходимым – считать может научить и бабушка, причём ещё в детском саду.
– Чтобы найти площадь треугольника достаточно знать его сторону и высоту, проведённую к этой стороне. Однако опять же – это не необходимость, площадь треугольника можно найти и по трём сторонам (формуле Герона) или, например, с помощью векторного произведения.
– Для допуска к экзамену по высшей математике Пете необходимо отчитаться по курсовой работе. Но этого не достаточно – потому что ещё нужно сдать зачёт.
– Для того чтобы вся группа получила зачёт достаточно занести преподавателю ящик коньяка. И здесь, как нетрудно предположить, отпадает необходимость что-либо учить =) Но, обратите внимание, подготовка вовсе не возбраняется ;)

Бывают ли условия необходимые и в то же время достаточные? Конечно! И очень скоро мы до них доберёмся. А сейчас об одном важном принципе матлогики:

Математическая логика формальна. Её интересует истинность или ложность высказываний, но не их содержание!

Так, если мы составим импликацию Если черепахи не летают, то дважды два равно двум, то она будет истинной! Иными словами, любое истинное высказывание можно обосновать любой истиной (1-я строчка таблицы), и с точки зрения формальной логики это будет истина!

Но ещё интереснее ситуация с ложным посылом: любой ложью можно обосновать всё, что угодно – как истину так и ложь:
– если Луна квадратная, то ;
– если пингвины ходят в носках, то черепахи носят ботинки.

А что? – по таблице оба высказывания истинны! Такие факты получили название парадокс импликации, но формально никакого парадокса нет. Однако мы далее будем, конечно, вкладывать в логические конструкции здравый смысл

1.2.7. Логическое следствие

1.2.5. Дизъюнкция (логическое сложение высказываний)

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин