Ваш репетитор, справочник и друг! Математическая статистика – краткий курс для начинающих |
4.4. Оценка генеральной дисперсии нормально распределенной совокупностиЭтот интервал можно построить несколькими способами, которые я постараюсь уместить буквально в пару страниц. Продолжаем решать ту же задачу об измерениях: Пример 23 По равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения (генерального стандартного отклонения) с надёжностью . Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не обязательно знать выборочную среднюю (хотя в Примере 13 мы её нашли). Способ первый. Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии нормальнойгенеральной совокупности определяется следующим образом (не пугаемся): , где – распределение «хи-квадрат» (ещё один скелет в шкафу:)), а , – критические значения, вычисленные для и . Что это всё значит, я рассказывать тоже не буду J. Данный интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное значение генеральной дисперсии . А если из всех частей неравенства извлечь корни, то
получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения: Значения известны, осталось разобраться с
нижним этажом. Вычислим и по таблице критических значений распределения либо по макету (пункт 3б)
найдём: В результате: Полученный интервал асимметричен относительно выборочного значения , и его широкий диапазон объясним малым объёмом выборки – велика вероятность, что при 10 измерениях значение «эс» действительно далеко от истинного значения «сигма». Способ второй, более простой. Он состоит в построении симметричного интервала по формуле: Согласно таблице, доверительной вероятности и объёму соответствует значение , таким образом: В результате мы получили примерно такой же широкий интервал. Для малых выборок может даже получиться , в таких случаях принимают ещё более грубую интервальную оценку: Ответ: 1) , 2) . Как и для распределения Стьюдента, при увеличении распределение хи-квадрат стремится к нормальному распределению, и уже
при можно использовать приближенную
формулу: Иногда встречаются обратная задача – по известной точности оценки (фактически по известному интервалу) найти доверительную вероятность . Иногда требуется построить одностороннюю оценку. Но ввиду их исключительного «иногда», я передаю привет студентам Московского института статистики и продолжаю :) Точнее, предлагаю продолжить вам: Пример 24 В результате обработки экспериментальных данных объёма получены следующие выборочные характеристики: . В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью определить доверительные интервалы: 1) для оценки неизвестной генеральной средней ; Заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала , так как в стандартной таблице отсутствуют значения
для . 4.5. Повторная и бесповторная выборка 4.3. Оценка генеральной средней нормально распределенной совокупности |
|