Ваш репетитор, справочник и друг!

Математическая статистика – краткий курс для начинающих

4.4. Оценка генеральной дисперсии нормально распределенной совокупности

Этот интервал можно построить несколькими способами, которые я постараюсь уместить буквально в пару страниц. Продолжаем решать ту же задачу об измерениях:

Пример 23

По равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения (генерального стандартного отклонения) с надёжностью .

Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не обязательно знать выборочную среднюю (хотя в Примере 13 мы её нашли).

Способ первый. Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии нормальнойгенеральной совокупности определяется следующим образом (не пугаемся):

, где – распределение «хи-квадрат» (ещё один скелет в шкафу:)), а , – критические значения, вычисленные для и . Что это всё значит, я рассказывать тоже не буду J.

Данный интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное значение генеральной дисперсии . А если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:

Значения известны, осталось разобраться с нижним этажом. Вычислим и по таблице критических значений распределения либо по макету (пункт 3б) найдём:

В результате:
– не забываем извлечь корни из знаменателей!
– таким образом, с вероятностью можно утверждать, что данный интервал накроет генеральное стандартное отклонение .

Полученный интервал асимметричен относительно выборочного значения , и его широкий диапазон объясним малым объёмом выборки – велика вероятность, что при 10 измерениях значение «эс» действительно далеко от истинного значения «сигма».

Способ второй, более простой. Он состоит в построении симметричного интервала по формуле:
, где значение отыскивается по соответствующей таблице.

Согласно таблице, доверительной вероятности и объёму соответствует значение , таким образом:

В результате мы получили примерно такой же широкий интервал. Для малых выборок может даже получиться , в таких случаях принимают ещё более грубую интервальную оценку:

Ответ: 1) , 2) .

Как и для распределения Стьюдента, при увеличении распределение хи-квадрат стремится к нормальному распределению, и уже при можно использовать приближенную формулу:
, где коэффициент доверия , который определяется из знакомого лапласовского соотношения .

Иногда встречаются обратная задача – по известной точности оценки (фактически по известному интервалу) найти доверительную вероятность . Иногда требуется построить одностороннюю оценку. Но ввиду их исключительного «иногда», я передаю привет студентам Московского института статистики и продолжаю :) Точнее, предлагаю продолжить вам:

Пример 24

В результате обработки экспериментальных данных объёма получены следующие выборочные характеристики: . В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью определить доверительные интервалы:

1) для оценки неизвестной генеральной средней ;
2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат: и приближённо, по формуле , где .

Заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала , так как в стандартной таблице отсутствуют значения для .
А рассчитывать значения «ку» программным способом – геморрой ещё тот. Краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце книги. Далее по курсу:

4.5. Повторная и бесповторная выборка

4.3. Оценка генеральной средней нормально распределенной совокупности

| Оглавление |