Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Математическая статистика – краткий курс для начинающих



4.4. Оценка генеральной дисперсии нормально распределенной совокупности


Этот интервал можно построить несколькими способами, которые я постараюсь уместить буквально в пару страниц. Продолжаем решать ту же задачу об измерениях:

Пример 23

По  равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения  (генерального стандартного отклонения) с надёжностью .

Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не обязательно знать выборочную среднюю (хотя в Примере 13 мы её нашли).

Способ первый. Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии  нормальнойгенеральной совокупности определяется следующим образом (не пугаемся):

, где  – распределение «хи-квадрат» (ещё один скелет в шкафу:)), а ,  – критические значения, вычисленные для  и . Что это всё значит, я рассказывать тоже не буду J.

Данный интервал с вероятностью  (надёжностью) накрывает истинное значение генеральной дисперсии . А если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:

Значения  известны, осталось разобраться с нижним этажом. Вычислим  и по таблице критических значений распределения  либо по макету (пункт 3б) найдём:

В результате:
 – не забываем извлечь корни из знаменателей!
 – таким образом, с вероятностью  можно утверждать, что данный интервал накроет генеральное стандартное отклонение .

Полученный интервал асимметричен относительно выборочного значения , и его широкий диапазон объясним малым объёмом выборки – велика вероятность, что при 10 измерениях значение «эс» действительно далеко от истинного значения «сигма».

Способ второй, более простой. Он состоит в построении симметричного интервала по формуле:
, где значение  отыскивается по соответствующей таблице.

Согласно таблице, доверительной вероятности  и объёму  соответствует значение , таким образом:

В результате мы получили примерно такой же широкий интервал. Для малых выборок может даже получиться , в таких случаях принимают ещё более грубую интервальную оценку:

Ответ: 1) ,      2) .

Как и для распределения Стьюдента, при увеличении  распределение хи-квадрат стремится к нормальному распределению, и уже при  можно использовать приближенную формулу:
, где коэффициент доверия , который  определяется из знакомого лапласовского соотношения .

Иногда встречаются обратная задача – по известной точности оценки (фактически по известному интервалу) найти доверительную вероятность . Иногда требуется построить одностороннюю оценку. Но ввиду их исключительного «иногда», я передаю привет студентам Московского института статистики и продолжаю :) Точнее, предлагаю продолжить вам:

Пример 24

В результате обработки экспериментальных данных объёма  получены следующие выборочные характеристики: . В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью  определить доверительные интервалы:

1) для оценки неизвестной генеральной средней ;
2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения  двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат:  и приближённо, по формуле , где .

Заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала , так как в стандартной таблице отсутствуют значения для .
А рассчитывать значения «ку» программным способом – геморрой ещё тот. Краткое решение и примерный образец оформления задачи  в конце книги. Далее по курсу:

4.5. Повторная и бесповторная выборка

4.3. Оценка генеральной средней нормально распределенной совокупности

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.