Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

1.3. Арифметические действия

Несмотря на элементарность темы…, вы бы знали, как тут «плавают»!

Вычитание – это частный случай сложения, разность всегда можно представить в виде суммы: .

На удивление этот факт помнят далеко не все. Чего не скажешь о следующем:)

От перестановки слагаемых сумма не меняется: .

Это правило справедливо для любого количества слагаемых, так в трёхчлене слагаемые можно расположить в любом порядке, например, так: или даже так: . Однако располагать их принято в порядке убывания степеней (1-й вариант).

У некоторых возникает недопонимание при сложении отрицательных чисел, в этом случае их удобно ассоциировать с температурой:

(к 15 градусам мороза прибавили 20 градусов тепла)

(к 15 градусам мороза прибавили ;) 7 градусов мороза)

Ну и конечно помним, что два минуса подряд дают плюс:

Деление – это частный случай умножения, любое частное или (что то же самое) любую правильную или неправильную дробь можно представить в виде произведения: , где (ибо на ноль делить нельзя!)

Так, семь третьих тортов – это 7 кусочков по одной трети: . Кстати, все ли помнят смысл умножения?

(«трижды два») означает, что мы 3 раза взяли по 2 попугая (рисовать уж не буду). Итого: 2 + 2 + 2 = 6 птиц…, и закапало с ресниц. Поэтому

(«дважды четыре») означает, что мы 2 раза взяли по 4 попугая.
Итого: 4 + 4 = 8. Поэтому

Ну и вместо «дважды по сто» я предлагаю вам заполнить интерактивную таблицу умножения (см. Приложение Таблицы).

Далее. При умножении любого числа на ноль получается ноль: . Наоборот – тоже ноль: . Умножать можно и отрицательные числа, при этом:

один минус даёт минус: либо ,
два минуса дают плюс: ,
три минуса дают минус: , и так далее.

От перестановки множителей произведение не меняется .

Данное правило справедливо и для бОльшего количество множителей, при этом множители чаще всего располагают так: сначала множитель-константа, затем переменные в алфавитном порядке, например: .

Степень – это свёрнутая запись произведения: , называют основанием степени, а – показателем степени или тоже степенью. Например:

, ,

Так как два минуса дают плюс, то отрицательное число в чётной степени – положительно: , а отрицательное число в нечётной степени – отрицательно:

НЕ ПУТАЙТЕ с записями !!! В последнем случае знак «минус» к основанию степени не относится:

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: . Помним этот факт в любом состоянии! Ноль в нулевой степени не определён. Хотя, на этот счёт существуют альтернативные гипотезы. Да, ещё один очевидный факт:

Теперь обратное действие – извлечение корней, чаще всего арифметического квадратного корня , например:

Реже встречаются корни более высоких степеней:

Если корень нечётный: 3, 5, 7… то его можно извлекать и из отрицательных чисел!
Например:

Хорошим тоном считается частичное извлечение корня (если это возможно):

Как быть, если под корнем большое число, например ? На калькуляторе проверяем, делится ли оно на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: .
В результате:

Итак, наш рабочий алгоритм таков: если под корнем находится неизвлекаемое нацело число, то пытаемся выполнить частичное извлечение – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 25, 49, 100 и т.д.

Ну и, конечно, любой «плохой» корень можно вычислить приближённо, самые популярные значения: .
Хорошим тоном также считается устранение иррациональности в знаменателе. Попросту говоря, это когда в знаменателе есть корень: . В таких случаях нужно использовать искусственный приём – умножить числитель и знаменатель на корень, ТАКОЙ, чтобы в знаменателе корень извлёкся нацело. Распишу очень подробно:

(на последнем шаге сократили дробь на 2)

Аналогичный пример: .

Иногда проскакивают корни более высоких степеней:

1.4. Порядок действий

1.2. Буквы в математике

| Оглавление |