1.6.5. Условная вероятность

Случайное событие является зависимым, если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события . Вероятность события , вычисленная в предположении того, что событие уже произошло, называется условной вероятностью наступления события и обозначается через .
При этом события и называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них).

Карты в руки:

Задача 47
Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:
а) была извлечена черва, б) была извлечена карта другой масти.

Решение: рассмотрим событие: – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву вытянули ранее или нет.

а) Если сначала была извлечена черва (событие ), то в колоде осталось 35 карт, среди которых осталось 8 карт червовой масти. По классическому определению:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению:
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена карта другой масти.

Ответ:

И здесь всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет , то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится: (т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: (т.к. все червы остались в колоде).

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: – третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению:
– вероятность наступления события при условии, что до этого были извлечены две червы.
Для самостоятельной тренировки:

Задача 48
В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце книги.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися. Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в демо-примере извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна

Поэтому на практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт

1.6.6. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

1.6.4. Задачи на теоремы сложения и умножения

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин