Ваш репетитор, справочник и друг! Практикум по теории вероятностей Научись решать в считанные дни! |
2.2.7. Функция распределения случайной величиныСтандартное обозначение: И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково: , где – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Построим функцию распределения для нашей подопытной игры: Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения: Таким образом: , если . Таким образом, если , то Далее рассматриваем промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому: И, наконец, если , то , ибо все значения случайной величины лежат СТРОГО левее любой точки интервала Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция характеризует вероятность, то она может принимать значения лишь из промежутка – и никакие другие! Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать
фигурные скобки: График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид: Причём, функция или её
график однозначно определяют сам закон распределения: в точке высота «ступеньки» (разрыв) составляет (следим по графику), в точке «скачок» разрыва равен и, наконец, в точке он равен в точности . Освоим технические моменты решения типовой задачи: Задача 93 Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков: Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения: Сначала берём первое значение и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке . На промежутке (между
и ): На промежутке (между
и ): На промежутке (между
и ): И, наконец, если строго
больше самого последнего значения , то: Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию иногда называют интегральной функцией распределения. В практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку: Выполним чертёж: При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб: На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще. Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так: 2.2.8. Вероятность попадания в промежуток 2.2.6. Многоугольник распределения Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате, Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно! С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин |
|