Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Математическая статистика – краткий курс для начинающих



3.2.3. Генеральная и выборочная дисперсия


Дисперсия с латыни так и переводится – рассеяние.

…Не сломать бы язык :) …так:  выборочная дисперсия  – это среднее арифметическое квадратов отклонений всех вариант выборки от её средней:
 – для несгруппированных данных, и:
 – для сформированного вариационного ряда, где  – кратные (одинаковые по значению) варианты в дискретном случае либо середины частичных интервалов – в интервальном, и  – соответствующие частоты.

Ещё раз не спеша и ОСМЫСЛЕННО прочитайте определение и выполните

Задание: сформулировать и записать (на бумагу!) определение генеральной дисперсии и соответствующие формулы. Свериться можно в конце книги.

Вычислим дисперсию по данным Примера 13. Здесь вместо модулей нужно рассчитать квадраты отклонений:

Заполняем табличку:

и порядок:  квадратных (!) единиц  – коль скоро, мы возводили в квадрат. И, чтобы вернуться в размерность задачи, из дисперсии следует извлечь квадратный корень. Но мы не будем торопить события, лучше посмотрим, как выполнять вычисления в Экселе (Ютуб).

Ответ:

Разобранная только что задача часто встречается в лабораторных работах по физике (да и не только) – когда некоторая величина замеряется раз десять и затем рассчитывается среднее значение.

А теперь представьте, что вся ваша группа выполняет лабу по физике, и каждый провёл по 10 испытаний в схожих условиях. Очевидно, что у всех получились несколько разные выборочные значения , но все они без какой-либо закономерности (в общем случае) будут варьироваться вокруг истинного значения показателя  (роль генеральной средней может играть некий теоретический эталон). Это свойство (отсутствие закономерности) называется несмещённостью оценки генеральной средней, и справедливо оно, как мы увидим ниже, не для всех показателей.

Теперь пару ласковых об отклонениях. В чём их смысл? Всё просто: у кого эти показатели ниже, тот качественнее проводит опыты (плавнее выполняет действия, точнее снимает показания с приборов, засекает время и т.п.). В идеале эти отклонения равны нулю, но это только в идеале – сам эмпиризм ситуации порождает генеральное линейное отклонение  и генеральную дисперсию, которые обусловлены человеческим фактором, погрешностью приборов и так далее – вплоть до магнитных бурь.

В случае с полученными линейными отклонениями  – всё то же самое, они будут безо всякой закономерности варьироваться вокруг генерального значения . Но вот с дисперсией это не так. Полученные значения выборочной дисперсии  будут давать систематически заниженную оценку генеральной дисперсии . И поэтому выборочную дисперсию следует «поправить» по формуле:

  – желающие могут найти обоснование этого факта и этой формулы в специализированной литературе по математической статистике.

Показатель  так и называется –

3.2.4. Исправленная выборочная дисперсия

3.2.2. Среднее линейное отклонение

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.