Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

1.10. Формула Пуассона

Если количество независимых испытаний достаточно велико (100 и больше),
а вероятность появления события в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-0,01 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз, можно вычислить приближённо по формуле Пуассона:
, где (вместо «лямбды» также используют букву «а»).

Утопичная, конечно, задача, но что делать – таких много:)

Задача 72
В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажет ровно 1 замок.

Решение: в данном случае количество «испытаний» велико, а вероятность «успеха» в каждом из них – мала: , поэтому используем формулу Пуассона:
, по условию, требуется найти вероятность того, что за месяц откажет ровно замок

Вычислим: – по существу, это среднеожидаемое количество вышедших из строя замков.

Таким образом:
– вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно один замок (из 10 тысяч).

Ответ:

С технической точки зрения результат можно получить несколькими способами, расскажу о них в историческом ракурсе:

1) С помощью специальной таблицы, которая до сих пор встречается в некоторых книгах. В данную таблицу сведены различные значения и соответствующие им вероятности. Табулирование обусловлено тем, что в своё время не существовало бытовых калькуляторов, на которых можно было бы подсчитать значения экспоненциальной функции. Отсюда, кстати, идёт традиция округлять вычисления до 4 знаков после запятой – как в стандартной таблице.

2) С помощью прямого вычисления на микрокалькуляторе (прогресс!), именно этим способом я и провёл вычисления.

3) С помощью стандартной экселевской функции: ПУАССОН(m; лямбда; 0),
в данной задаче забиваем в любую ячейку Экселя =ПУАССОН(1; 2; 0) и жмём Enter.

Следует отметить, что развитие вычислительной техники фактически отправило в историю рассмотренное решение – по той причине, что ответ легко вычислить более точно* по формуле Бернулли, например, с помощью функции БИНОМРАСПприложения MS Excel:

* и, разумеется, существует абсолютно точное значение с длинным «хвостом».

Но формула Пуассона, тем не менее, даёт очень крутое приближение:
– с погрешностью только на 9-м знаке после запятой!

Впрочем, это всё лирика, решать-то всё равно нужно по формуле Пуассона, пока я и мои коллеги не написали для вас новые учебники:) Ну а пока классика жанра:

Задача 73
Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:
а) ни одного изделия, б) ровно три изделия, в) более трех изделий.

Решение: используем формулу Пуассона:
, в данном случае: – среднеожидаемое количество повреждённых изделий

а)
– вероятность того, что все изделия дойдут в целости и сохранности, как бы сказал опытный логист, ничего не украли J

б)
– вероятность того, что в пути будут повреждены ровно 3 изделия из 500.

в) (больше трёх изделий). Это или 4, или 5, или 6, или, …, или 500 штук. Но считать сумму , мы, конечно не будем :)

Приём уже знаком – «заходим с чёрного хода». Сначала найдём – вероятность того, что в пути повредятся не более трёх изделий. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

И по теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что при доставке будет повреждено более 3 изделий.

Ответ: а) , б) , в)

Само собой, ручками это всё считать надоест, и поэтому я добавил в Калькулятор (Пункт 7) автоматическое вычисление этих вероятностей.

Следующий пример самостоятельно; по возможности, проведите вычисления несколькими способами:

Задача 74
Вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производстве равна . Определить вероятность того, что в партии из 800 деталей будет: а) ровно 2 бракованные, б) не более двух.

Иногда условие встречается в несколько другой интерпретации. Так, в предложенной задаче может идти речь о том, что производственный брак составляет 0,1% или, например, «в среднем 0,8 детали на каждую тысячу». Обратите внимание, что в последнем случае нам дано готовое значение «лямбда».

Ни в коем случае не отключаем голову – даже в таких простых примерах!

Ещё раз подчёркиваю, что формула Пуассона лишь приближает формулу Бернулли, и на самом деле это её не единственное применение. В следующей главе мы познакомимся с распределением Пуассона и разберём другие задачи с этой формулой.

1.11. Локальная теорема Лапласа

1.9. Независимые испытания и формула Бернулли

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин