Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

1.11. Локальная теорема Лапласа

Итак, те же независимые испытания, но значения и достаточно велики:

Найти вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет 200 раз.

Очевидно, что здесь следует применить формулу Бернулли, и мы попробуем её применить: …стоп, что делать дальше?
Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами.
Воспользуемся стандартной функцией Экселя (БИНОМРАСП – см. п. 3 Калькулятора), которая сумела обработать монстра:
.

Заостряю ваше внимание, что это точное значение и такое решение вроде бы идеально,… но: 1) программного обеспечения может не оказаться под рукой, 2) учебное решение будет смотреться нестандартно, 3) Эксель – тоже не панацея, «сломался» на значениях, чуть бОльших, чем (специально ради интереса ломал).

Возникает мысль написать специальную программу, например, на Паскале, но… сами понимаете, изощрённые фантазии многими преподавателями не одобряются =)

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна:
, где – функция Гаусса, а .

При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению (по Бернулли). Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность, когда меньше, чем (впрочем, это зависит от ). Поэтому критерием эффективного использования теоремы является выполнение неравенства .

Так, например, если , то и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если и , то и приближение к точному значению будет плохим.
Оформим официальные отношения с нашим примером:

Задача 75
Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно:
а) 200 раз, б) 225 раз.

С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами:
– общее количество независимых испытаний;
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.

а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа: , где .

На первом шаге вычислим значение аргумента:

Далее находим соответствующее значение функции: . Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашивается прямое вычисление:
– округление проводят, как правило, до 4 знаков после запятой. Для ускорения вычислений я добавил эту формулу в Калькулятор (пункт 4).

Кроме того, существует таблица значений функции , которая есть практически в любой книге по теории вероятностей. И эта книга не исключение:

Прямо сейчас откройте Приложение Таблицы
и разберитесь, как пользовать таблицей значений функции !

В частности, найдите по таблице значение . «Дедовский» способ поможет в тех случаях, когда под рукой не окажется нужной техники (что вполне реально на практике).
На заключительном этапе применим формулу :
– вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.

Как видите, полученный результат очень близок к точному значению , вычисленному по формуле Бернулли.

б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово:
1)

Обязательно найдите это значение по таблице!

3) – искомая вероятность.

Ответ:

Следующий пример посвящен,… правильно догадываетесь, и это вам для самостоятельного решения :)

Задача 76
Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а) 40 мальчиков, б) 50 мальчиков, в) 30 девочек.

Кстати, реальная статистическая вероятность рождения мальчика во многих регионах мира как раз колеблется в пределах от 0,51 до 0,52.

Как вы заметили, вероятности получаются достаточно малыми, и это не должно вводить в заблуждение – ведь речь идёт о вероятностях отдельно взятых, локальных значениях (отсюда и название теоремы). А таковых значений много, и, образно говоря, вероятности «должно хватить на всех». Правда, многие события будут практически невозможными. Так, в серии из 400 испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют полную группу:

Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, и вероятность того, что орёл выпадет ровно 250 раз – уже одна десятимиллионная: . О значениях вроде тактично умолчим :)

С другой стороны, не следует недооценивать и «скромные результаты»: так, если составляет всего около , то вероятность того, орёл выпадет, скажем, от 220 до 250 раз, будет весьма заметна. А теперь задумаемся: как найти эту вероятность? С современными вычислительными возможностями не составит труда воспользоваться теоремой сложения вероятностей несовместных событий и вычислить сумму либо абсолютно точное значение через формулу Бернулли: .

Но гораздо проще эти значения объединить. А объединение чего-либо называется интегрированием:

1.12. Интегральная теорема Лапласа

1.10. Формула Пуассона

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин