Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

1.12. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность – того, что в испытаниях событие наступит не менее и не более раз (от до раз включительно), приближённо равна:
, где – функция Лапласа,
а аргументы рассчитываются по формулам .

Как и в локальной теореме, количество испытаний должно быть достаточно большими вероятность не слишком мала, и на практике следует ориентироваться на выполнение того же неравенства , в противном случае приближение к точному результату (полученному по Бернулли) будет плохим.

Задача 77
Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:
а) от 60 до 80 раз, б) не менее 65 раз

Решение: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях, причём их количество достаточно велико. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет , следовательно, вероятность промаха: .

Оценим эффективность применения интегральной теоремы Лапласа:
, значит, теорема Лапласа даст хорошее приближение.

а) Найдём вероятность – того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от до раз. Используем интегральную теорему Лапласа:
, где – функция Лапласа.

Сначала вычислим значения аргументов:

Обращаю внимание, что произведение не обязано извлекаться из-под корня нацело (как любят «подгонять» числа авторы задач) – без тени сомнения извлекаем корень приближённо и округляем результат; я привык оставлять 4 знака после запятой.
А вот полученные значения обычно округляют до 2 знаков – эта традиция идёт из таблицы значений функции (см. Приложение Таблицы), где аргументы представлены именно в таком виде.

Таким образом:

Как вычислить значения функции ? Ручные вычисления и микрокалькулятор здесь не помогут, поскольку этот интеграл не берётся. Но вот в Экселе соответствующий функционал есть – используйте Пункт 5 Калькулятора.

Кроме того, ОБЯЗАТЕЛЬНО найдите значение в таблице!

И, учитывая нечётность функции Лапласа , получаем, распишу подробно:

– вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 60 до 80 раз.

Результат чаще всего округляют до 4 знаков после запятой (опять же в соответствии с форматом таблицы).
б) Найдём вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 65 раз. Это означает, что , а .

Вычислим значения аргументов:

Таким образом, по интегральной теореме Лапласа и таблице значений функции Лапласа (лучше использовать такую формулировку!), получаем:

– вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 65 раз.

Примечание: начиная с , можно считать, что , или, если записать строже: .

Ответ: а) , б)

И ради исследовательского интереса я вычислил более точные значения с помощью формулы Бернулли («протянув» в Экселе формулу БИНОМРАСП):

– как видите, расхождение получилось существенным, это обусловлено небольшим значением . А ещё, надо признать, рассматриваемый метод устарел, ибо экселевские расчёты отняли у меня буквально минуту. Но мы отнесёмся к этому с пониманием, таки Пьер-Симон маркиз де Сад Лаплас жил в 18-19 веках J

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 78
В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено:
а) половина ламп,
б) не менее 1250 и не более 1275 ламп,
в) не более 1000 ламп

Примерный образец чистового оформления решения в конце книги.

Следует отметить, что рассматриваемые задачи очень часто встречаются в «обезличенном» виде, примерно таком:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью 0,5. Опыт повторяется в неизменных условиях 2500 раз. Определить вероятность того, что в 2500 опытах событие произойдет от 1250 до 1275 раз.

1.13. Относительная частота события и статистическая вероятность

1.11. Локальная теорема Лапласа

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин