Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

2.4.3. Функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует

В нашем примере:

то есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.

Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:

– равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция была найдена как производная, то – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).

Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности, делим интеграл на 3 части:

Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить средний интеграл:
, что и требовалось проверить.

С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это значит, что площадь между осью и графиком равна единице, и в данном случае речь идёт о площади треугольника . Сторона является фрагментом прямой и для её построения достаточно найти точку :

Ну вот, теперь всё наглядно – где бОльшая площадь, там и сконцентрированы более вероятные значения.

Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она неотрицательна и её график не может располагаться ниже оси . В общем случае функция разрывна (смотрим, где «жирные» оранжевые точки!).

Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадываетесь:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .

По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам и полуинтервалам, в частности:

Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .
Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?

А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» бросить курить отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:

Задача 105
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .

Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце книги.

Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы:

1) когда дана функция , 2) когда дана функция .

В первом случае не составляет особых трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы только что убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:
Задача 106
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти значение и составить функцию распределения вероятностей . Вычислить .
Построить графики .

Решение: найдём константу . Это классика (в подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности). Используем свойство .
В данном случае:

На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:
(*)
Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим интеграл:
и подставим результат в уравнение (*):
, откуда выразим

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, отлично.

Обратите внимание, что только при и только при этом значении предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности действительно выполнено. Доверяй условию, да проверяй ;) Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.

Теперь начинается самое интересное. Функции распределения вероятностей – есть интеграл:

Так как состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:

1) На промежутке , поэтому:

2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:

При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синуса либо его нечётность: .

3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:

Внимание! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения ;) К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. И такой пример я обязательно разберу ниже.

Записываем наши достижения под единую скобку:

С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную: , а также «прозвоним» точки «стыка»:

Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания чаще находят с помощью функции распределения:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка

Второй способ состоит в вычислении интеграла:
что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.

Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза. Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна:

Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально нарисовал, чтобы напомнить вероятностный смысл плотности функции распределения. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения по условию, невозможны.
Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой синусоиду, сжатую в 2 раза вдоль оси ординат и сдвинутую на вверх:

В принципе, тут можно было не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке существует перегиб графика функции , и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.

Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат (вертикальные оси) лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.

И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:

Задача 107
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Требуется:

1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка

и задачка поинтереснее:

Задача 108
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .

Дерзайте! Свериться с решением можно внизу книги.

Следует отметить, что все эти задачи реально предлагают студентам-заочникам, и поэтому я не предлагаю вам ничего необычного.

И в заключение параграфа обещанные случаи с несобственными интегралами:

Задача 109
Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.

Решение: по свойству функции плотности распределения:

В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:

Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:

и функция плотности:

Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:

1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.

2) На интервале и:
, что и должно получиться.

Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:

Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .

В соответствующей статье сайта я рассмотрел ещё более интересный пример с функцией , где случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения. Но это уже несколько повышенный уровень сложности.

2.4.4. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ?

2.4.2. Вероятность попадания в промежуток

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин