Ваш репетитор, справочник и друг!

Математическая статистика – краткий курс для начинающих

4.7. Оценка генеральной доли

Быстренько освежим в памяти, что такое доля. Вспоминаем помидоров на базе, среди которых первосортных. Тогда отношение является генеральной долей первосортных помидоров. Однако исследовать все овощи затруднительно, поэтому организуется представительная выборка из помидоров, среди которых первосортных окажется штук. Отношение называется выборочной долей.

Выборочная доля является точечной оценкой генеральной доли и не внушает особого доверия, поскольку в разных выборках мы будем получать разные значения , иногда далёкие от истины. В этой связи более предпочтительно оценить интервалом.

Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти доверительный интервал:

– который с заранее заданной надёжностью накроет истинное значение генеральной доли.

Далее для удобства я буду опускать подстрочный индекс у выборочной доли: .

Точность оценки (или предельная ошибка доли) рассчитывается по формуле , где – коэффициент доверия, а – средняя ошибка доли.

Для нахождения корректнее использовать распределение Стьюдента (таблицу или макет (пункт 2б)), но на практике в большинстве задач объём выборки и в ходу распределение нормальное с лапласовским соотношением .

Средняя ошибка доли определяется так:
– для бесповторной выборки;
– для повторной выборки.

В том случае, если генеральная совокупность велика, а выборка малА, то для бесповторной выборки можно использовать и 2-ю формулу, ибо дробь будет близка к нулю. Как видите, формулы очень похожи, только вместо дисперсии у нас тут произведение , и чего томиться, сразу задача:

Пример 29

В целях изучения суточного пробега автомобилей автотранспортного предприятия проведено 10%-ное выборочное обследование 100 автомобилей методом случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

С вероятностью 0,954 требуется определить долю машин в генеральной совокупности с пробегом более 180 км.

Решение: вычислим количество автомобилей с пробегом более 180 км по выборке:
. Таким образом:
– выборочная доля автомобилей с пробегом более 180 километров.

Генеральную долю таких автомобилей оценим с помощью доверительного интервала:
, где – предельная ошибка доли.

Для уровня доверительной вероятности из соотношения определяем знакомый коэффициент доверия:
.

…Студентам-экономистам почему-то любят предлагать нежные значения «гамма» (у них эта задача – чуть ли не обязательная по предмету). Причём, в методичках прямо так и пишут без пояснений, что вероятности соответствует коэффициент . И никаких там подстрочных индексов, лапласов или экселев. Запомнил, и всё. Плохо.

Вычислим среднюю ошибку доли. Коль скоро выборка 10%-ная, то объём генеральной совокупности равен автомобилей, и для бесповторной выборки:

Таким образом, точность оценки составляет и искомый доверительный интервал:

– с вероятностью 95,4% данный интервал накрывает истинную генеральную долю автомобилей с пробегом более 180 км.

Ответ:

Кстати, тут легко оценить и абсолютное количество таковых машин:

– от 425 до 615 автомобилей в генеральной совокупности.

Но результат это, конечно, слабоватый. И помочь здесь может увеличение объёма выборки. Родственная формула уже выведена в предыдущем параграфе, и я просто заменю дисперсию произведением :

– здесь по желаемой предельной ошибке можно вычислить необходимый объём выборки.

И прямо сейчас у вас представится такая возможность.

На десерт:

Пример 30

Методом механического бесповторного отбора проведено однопроцентное обследование веса пирожных, изготовленных кондитерской фабрикой за сутки. Распределение веса пирожных по весу следующее:

а) С вероятностью 0,9974 определить пределы, в которых будет находиться доля пирожных весом не менее 100 г, во всей суточной продукции

б) Сколько процентов пирожных нужно проверить, чтобы увеличить точность оценки в 7 раз? (при той же доверительной вероятности) Оценить целесообразность такого статистического исследования.

Краткое решение и ответ в конце книги.

4.8. Итоги по главе

4.6. Оценка генеральной средней по повторной и бесповторной выборкам

| Оглавление |