4. Статистические оценки параметров генеральной совокупности

Вспомним основной метод математической статистики. Он состоит в том, что для изучения генеральной совокупности объёма из неё производится выборка объёма , которая хорошо характеризует всю совокупность (свойство представительности). И на основании исследования этой выборочной совокупности мы с некоторой достоверностью можем оценить генеральные характеристики. Само собой, чем выше достоверность – тем лучше, тем качественнее исследование. Этому вопросу и посвящена данная глава.

Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности (о чём пойдёт речь позже) и оценить его важнейшие числовые параметры, такие как генеральная средняя , генеральная дисперсия и стандартное отклонение .

4.1. Точечные оценки

Очевидно, что для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя позволяет нам оценить генеральную среднюю , причём, оценить её точечно. Почему точечно? Потому что – это отдельно взятое, конкретное значение. Если из той же генеральной совокупности мы будем проводить многократные выборки, то в общем случае у нас будут получаться различные выборочные средние, и каждая из них представляет собой точечную оценку генерального значения .

Аналогично, точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия , и соответственно, стандартного отклонения – исправленное стандартное отклонение .

4.2. Интервальная оценка и доверительный интервал

Недостаток точечных оценок состоит в том, что при небольшом объёме выборки (как оно часто бывает), мы можем получать выборочные значения, которые далеки от истины. И в этих случаях логично потребовать, чтобы выборочная характеристика (средняя, дисперсия или какая-то другая) отличалась от своего генерального значения не более чем на некоторое положительное значение .

Справка: – греческая буква «тета», – греческая буква «дельта», вместо «дельты» также используют («эпсилон»).

Значение называется точностью оценки, и озвученное выше требование можно записать с помощью модуля:

Но статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности, когда мы можем «выиграть в лотерею» в плохом смысле этого слова. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности («гамма»), с которой это неравенство осуществится: .
А теперь я раскрою модуль:

и сформулирую суть:

Интервал называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения по найденному выборочному значению . Данный интервал с вероятностью «накрывает» истинное значение . Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки. Надёжность «гамма» часто задаётся наперёд, популярные варианты:
.

Переходим к конкретике:

4.3. Оценка генеральной средней нормально распределенной совокупности

3.3. Статистические показатели (итоги по главе)

| Оглавление |