Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

4.2. Треугольники

Оглавление:

Понятие треугольника
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла
Подобные треугольники

Понятие треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Треугольник стандартно обозначают значком и тремя вершинами: . Сумма углов любого треугольника или радиан. Повторим его основные элементы:
Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение). Например, . У треугольника 3 высоты, и они пересекаются в одной точке.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Например, – она делит сторону на 2 равные части: Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Справка: отрезки равной длины обозначают одинаковыми засечками, а равные углы – одинаковыми дугами. Длину отрезка обозначают знаком модуля.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Например, – она делит на два равных угла . Биссектрисы тоже пересекаются в одной точке.

В общем случае точки пересечения высот, медиан и биссектрис не совпадают.

И, наверное, вам не нужно объяснять понятие площади (вспоминаем, квадратные метры, дачные «сотки» и т.д.). Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны (любой) на длину опущенной к ней высоты, в частности: . Существуют и другие формулы.

Повторим частные случаи треугольников и их основные свойства:

Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Равные стороны ( и ) называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием.
Высота, проведённая к основанию , одновременно является медианой и биссектрисой . Углы при основании равнобедренного треугольника равны

Равносторонний треугольник

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Все углы этого треугольника тоже равны и каждый из них равен 60° ( радиан).

Равносторонний треугольник также называют правильным треугольником.

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Треугольник с прямым углом называется прямоугольным.
Нетрудно догадаться, что два других угла – острые.

Сторона, лежащая напротив прямого угла, является самой длинной и называется гипотенузой , две другие стороны называются катетами ( и ). Обозначим длины этих сторон буквами И теперь знаменитая теорема, известная уже более 2500 лет и доказанная более, чем 400 способами:

Теорема Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: .

Так, если известны катеты ед., то с помощью теоремы легко найти гипотенузу: и, извлекая квадратный корень, получаем:
ед.

Справка: если в метрических (вычислительных) задачах не задана размерность (сантиметры, метры, литры, бараны и т.д.), то хорошим тоном считается указывать единицы, сокращённо: ед.

И наоборот, если известна гипотенуза ед. и один из катетов, например, ед., то из формулы легко выразить и найти другой катет:
ед., да, и не забываем о проверках: ед., ч.т.п.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Говоря простым языком, это пропорции (соотношения) между сторонами прямоугольного треугольника, зависящие от его острых углов. Нагляднее сразу рассмотреть конкретный треугольник, например, египетский – со сторонами 3, 4 и 5 ед.:
Далее для простоты изложения под стороной я буду подразумевать её длину.
Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему: .
И котангенсом называется отношение прилежащего катета к противолежащему: (предыдущие отношения наоборот).

А теперь мякотка: синус, косинус тангенс и котангенс не зависят от размеров треугольника. Они зависят только от значения острого угла. Так, – вне зависимости от того, какой треугольник нам дан – микроскопический или гигантский. Если в прямоугольном треугольнике есть угол , то катет, лежащий напротив этого угла, будет в два раза меньше гипотенузы. Каких бы размеров ни был треугольник.

Значения синусов, косинусов, тангенсов / котангенсов находят с помощью специальной таблицы (см. Приложение Тригонометрические таблицы) либо с помощью калькулятора. Следует отметить, что в тригонометрии перечисленные отношения определяются функциями – для произвольного угла, не только острого.

Подобные треугольники

К этому понятию мы только что подошли. Треугольники являются подобными, если их соответствующие углы (а значит, и их тригонометрические отношения) равны:

Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны: .

Коэффициент называют коэффициентом подобия, в данном примере . Пропорцию можно составить и наоборот, тогда .

Разумеется, подобными могут быть не только прямоугольные, и не только треугольники, а вообще произвольные геометрические фигуры. Например, матрёшки с одинаковой росписью. Если мы возьмём самую маленькую матрёшку, то её пропорции будут точно такими же, как и у всех остальных матрёшек, как и у самой большой.

4.3. Четырехугольники

4.1. Геометрия. Элементарные геометрические фигуры

| Оглавление |