Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики



4.5. Основные пространственные фигуры


Во-первых, плоскость, которая сама по себе является одной из элементарных геометрических фигур. На чертеже плоскость чаще всего изображают параллелограммом, что создаёт впечатление пространства:
Плоскость бесконечна, и у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко.
Реальные плоскости, которые встречаются в практических задачах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол
Обозначения: плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами . На чертеже плоскость отмечена буквой  («сигма»).

Призма – это фигура, состоящая из двух одинаковых многоугольников (оснований), лежащих в параллельных плоскостях, и боковых сторон, которые представляют собой параллелограммы. На чертеже ниже изображена треугольная призма:
Основаниями данной призмы являются равные треугольники , а боковыми сторонамипрямоугольники . Любую сторону призмы также называют гранью, а любой отрезок – ребром.
Линии, которые мы не видим, принято проводить пунктиром! В данном случае от нас спряталось ребро .
Разумеется, треугольники не обязаны располагаться строго друг над другом, поэтому в общем случае у нас получится «косая» призма. Здесь же боковые рёбра перпендикулярны основаниями, и, очевидно, объём этой призмы равен: .
Если основаниями призмы являются не треугольники, а параллелограммы, то получится (не сломать бы язык) параллелепипед. В качестве примера приведу популярнейший частный случай – прямоугольный параллелепипед:
Все грани этого «пипеда» – прямоугольники, причём противоположные грани параллельны и равны, а углы между смежными рёбрами составляют .
Эта форма встречается повсеместно (спичечный коробок, чемодан, комната и т.д.). Очевидно, что объём «пипеда» равен произведению длин трёх смежных сторон: .
Если все рёбра равны, то получается куб объёма , объём, кстати, и измеряют «кубиками». Но литры, конечно, удобнее.
И на всякий пожарный: не путайте объём с массой! Литровая банка ртути намного тяжелее литровой банки воды (хотя объём одинаков). Впрочем, это уже из кратчайшего курса физики :).

Пирамида – это многогранник, одна грань которого (основание) произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые стороны) – треугольники с общей вершиной. Так, в основании египетских пирамид лежат прямоугольники…, представили? Отлично!
Пирамида с основанием-треугольником называется треугольной пирамидой или тетраэдром. На рисунке слева точка  является вершиной, а  – основанием пирамиды.
Объём пирамиды (любой) можно вычислить по формуле , где  – площадь основания,  – длина проведённой к нему высоты, для нашего тетраэдра: .
Сфера – это множество точек пространства, равноудалённых от заданной точки :
Точка  называется центром сферы, а значение  – радиусом. Площадь поверхности сферы равна: .
Тело, ограниченное сферой (+ сама сфера),  называется шаром. Не путайте эти понятия! Сфера – поверхность, шар – тело. 
Объём шара (!) можно вычислить по формуле .
Следующие тела и поверхности я приведу в описательном порядке (без строгих определений). Всем знакомый прямой круговой цилиндр:
Данное тело ограничено равными параллельными кругами сверху и снизу (основания цилиндра), а боковая поверхность порождена образующими (в частности, ) – перпендикулярами, которые соединяют окружности. Площадь боковой поверхности: , где  – высота цилиндра, а  – радиус основания. Чтобы найти площадь поверхности всего цилиндра нужно приплюсовать площадь двух кругов: . Объём цилиндра: .
Существует великое множество других цилиндров, но во избежание путаницы мы ограничимся лишь этим частным случаем, рАвно, как и одним частными случаем конуса:

Прямой круговой конус – это тело, ограниченное кругом (основание конуса) и образующими – отрезками равной длины , которые соединяют окружность с вершиной конуса , которая расположена строго над (или под) центром  круга:
Если известен радиус основания  и высота конуса , то длину образующей можно найти с помощью теоремы Пифагора по формуле . Площадь боковой поверхности конуса равна: , а чтобы вычислить площадь поверхности всего конуса нужно добавить площадь круга: .
И объём конуса: .  Есть ещё усечённый конус, но…

Информации этой главы должно хватить в 90-95% случаев! Ну а для случаев других есть учебники / справочники, где можно отыскать более редкие фигуры и формулы.

…никогда не думал, что прикладную геометрию можно изложить на 9,5 страницах… :)

5.1. И немного тригонометрии

4.4. Окружность и круг

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.