Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики



5.2. Определение синуса, косинуса,
тангенса и котангенса через единичную окружность


Не так давно мы определили эти отношения для острого угла, и сейчас распространим на произвольный угол. Для этого используют так называемую единичную окружность (радиуса ). Изобразим её в декартовой системе с центром в начале координат:
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую окружности, и положительно ориентированный угол  (зелёная стрелка).
Синусом угла  называют отношение ординаты точки  к радиусу окружности: .
Косинусом угла  называют отношение абсциссы точки  к радиусу окружности: .
Тангенс угла  – есть отношение  (если  ), и котангенс:  (если  ).
Так, углам  (да-да, угол можно «накручивать» и дальше!) соответствуют точка , и поэтому: , а котангенса не существует, ибо ордината этой точки равна нулю.
Углу  соответствует точка , следовательно:
, тангенса не существует, .
Углу  соответствует точка , следовательно:

Угол  – самостоятельно (сверьтесь по Тригономометрической таблице).

Аналогично для отрицательно ориентированных углов. В частности, углу  (красная стрелка на чертеже), соответствует точка , следовательно: , тангенс аминь, .
На практике бывает удобно как «прикрутить» оборот к углу, так и «скрутить лишние». Так, угла  нет в Тригонометрической таблице, но к нему можно мысленно прибавить  (один оборот), в результате чего получится угол в  радиан с теми же самыми значениями синуса, косинуса и котангенса. И, наоборот, в некоторых задачах появляются углы с «лишними» оборотами. Рассмотрим, например, угол  – здесь целесообразно «скрутить» два оборота: , получая эквивалентный угол.

И, как вы правильно догадались, угол можно «накручивать» до бесконечности в любом направлении. Представьте, что по единичной окружности «ездит» точка. По мере того, как мы будем проходить оборот за оборотом (в любую сторону) значения синусов и компании будут периодически повторяться. Таким образом, возникают:

5.3. Тригонометрические функции

5.1. Об угле подробно

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.