5.2. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса через единичную окружность
Не так давно мы определили эти отношения для острого угла, и
сейчас распространим на произвольный угол. Для этого используют так называемую единичную окружность (радиуса ). Изобразим её в декартовой системе с центром в начале
координат:
Рассмотрим
произвольную точку , принадлежащую
окружности, и положительно ориентированный угол (зелёная стрелка).
Синусом угла называют отношение
ординаты точки к радиусу окружности: .
Косинусом угла называют отношение
абсциссы точки к радиусу окружности:
.
Тангенс угла – есть отношение (если ), и котангенс: (если ).
Так, углам (да-да, угол
можно «накручивать» и дальше!) соответствуют точка , и поэтому: , а котангенса не существует, ибо ордината этой точки равна нулю.
Углу соответствует точка , следовательно:
, тангенса не существует, .
Углу соответствует точка , следовательно:
Угол – самостоятельно
(сверьтесь по Тригономометрической таблице).
Аналогично для отрицательно ориентированных углов. В частности, углу (красная стрелка на
чертеже), соответствует точка , следовательно: , тангенс аминь, .
На практике бывает удобно как «прикрутить» оборот к углу, так и «скрутить лишние». Так, угла нет в Тригонометрической таблице, но к нему можно мысленно
прибавить (один оборот), в результате чего
получится угол в радиан с теми же самыми
значениями синуса, косинуса и котангенса. И, наоборот, в некоторых задачах появляются углы с «лишними» оборотами. Рассмотрим, например,
угол – здесь целесообразно «скрутить» два оборота: , получая эквивалентный угол.
И, как вы правильно догадались, угол можно «накручивать» до бесконечности в любом направлении. Представьте, что по единичной окружности «ездит»
точка. По мере того, как мы будем проходить оборот за оборотом (в любую сторону) значения синусов и компании будут периодически
повторяться. Таким образом, возникают:
5.3. Тригонометрические функции
5.1. Об угле подробно
| Оглавление |
|