Ваш репетитор, справочник и друг!

Математическая статистика – краткий курс для начинающих

3.2.5. Вычисление дисперсии по формуле

Эта формула выводится непосредственно из определения:

– дисперсия равна разности средней арифметической квадратов всех вариант статистической совокупности и квадрата средней самих этих вариант.

ОСМЫСЛЕННО повторяем ВСЛУХ и вникаем!

… Карл украл у Клары кораллы, а Клара украла у Карла кларнет!

Если что-то не очень понятно, то сейчас всё станет на свои места:

Для несгруппированных вариант выборочной совокупности формула детализируется следующим образом:

и для готового вариационного ряда – так:
, где – кратные (одинаковые) варианты дискретного ряда либо середины интервалов интервального ряда, а – соответствующие частоты.

Для генеральной дисперсии формулы те же, только с прописными буквами . Часто используют просто значок суммирования – без переменной-счётчика, поскольку в контексте той или иной задачи и так понятно, что суммируется.

И начнём мы со знакомой подопытной задачи:

Пример 15

В результате 10 независимых измерений получены следующие данные:

В Примере 13 мы нашли дисперсию по определению: , таким образом, ответ известен заранее, и это всегда круто. Всегда, когда он правильный.

Решение: используем формулу .
Для её применения нужно найти выборочную среднюю, повторим действие: ,
вычислить квадраты всех вариант:

и их сумму:
Результаты вычислений удобно заносить в таблицу:

Осталось применить формулу:
, что мы и хотели увидеть – результат, естественно, совпал с полученным ранее по определению.

Ответ:

Теперь случай сформированного вариационного ряда. В Примере 14 мы потренировались на дискретном ряде, и сейчас очередь интервального:

Пример 16

С целью изучения вкладов в Сбербанке города проведено выборочное исследование, в результате которого получены следующие данные:

Вычислить выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение, оценить соответствующие показатели генеральной совокупности.

Автор задачи заботливо подсчитал объем выборки , но не «закрыл» крайние интервалы. Такая вещь уже встречалась, и решение мы начинаем с этого закрытия:

поскольку длины внутренних интервалов составляют д. е., то логично рассмотреть такую же длину и по краям, то бишь, интервалы от 200 до 400 и от 1000 до 1200 денежных единиц.

…Возможно, у вас возник вопрос, а как быть, если даны интервалы разной длины? В этом случае можно принять за «эталон» среднюю длину известных интервалов.

Для расчёта числовых характеристик перейдём к дискретному вариационному ряду, выбрав в качестве вариант середины интервалов, которые здесь видны устно:

В тяжёлых случаях, напоминаю, суммируем концы интервалов и делим их пополам, например: .

Кроме того, варианты целесообразно уменьшить в 1000 раз, поскольку в ходе дальнейших вычислений будут получаться гигантские числа. С современной техникой, это, конечно, не проблема, но смотреться будет некрасиво.

Сначала вычислим выборочную среднюю. Этот алгоритм уже обкатан: находим произведения , их сумму:

и по соответствующей формуле:
тыс. д. е. (или 780 д. е.) – средний размер вклада.

Примечание: далее для компактной записи я буду использовать просто значок – без переменной-«счётчика».

Теперь дисперсия. Её никто не запрещает рассчитать по определению , но заметьте, насколько легче формула – для её применения всего-то лишь нужно рассчитать произведения и их сумму (правый столбец таблицы). Несмотря на то, что многие читатели уже освоили технику вычислений в Экселе, я записал ещё один ролик (Ютуб):

Итак, по формуле вычисления дисперсии, получаем:
тыс. д. е. в квадрате (так как по определению, дисперсия – есть величина квадратичная).

И, чтобы вернуться в размерность задачи, из дисперсии следует извлечь квадратный корень:

тыс. д. е. или 240 денежных единиц. Полученный показатель называется:

3.2.6. Среднее квадратическое отклонение

3.2.4. Исправленная выборочная дисперсия

| Оглавление |