Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики



1.7. Свойства степеней и корней


Быстренько вспоминаем, что такое степень – это свёрнутая запись произведения:
 , при этом  называется основанием степени, а  – показателем степени или тоже степенью. Особый случай: , если .

Повторим важные свойства степеней. Некоторыми из них мы уже вовсю пользовались, в частности:

Для того чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель: . Правило работает для любого количества множителей.

Например:  и т.п.
Следующее очевидное свойство следует из определения степени:

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить таким же, а показатели сложить: .

! Не путать с «похожими» действиями! Для разных оснований  –  правило не работает! Для суммы  – тоже нет!

Например:, при этом степень может быть и «навороченной»:    важно только, чтобы у них были одинаковые основания.

Чтобы возвести степень в степень нужно перемножить показатели:

Примеры: ,  и более замысловатые, но такие же естественные: .

При переносе степени из знаменателя в числитель (или наоборот) у показателя следует сменить знак:

Да, показатель степени может быть и отрицательным! Например: . Числа  и  называют взаимно обратными, их произведение равно: .
Другие примеры: , ну и можно ещё немножко поизвращаться: , такое тоже встречается J.
Следующее свойство вытекает из предыдущих:

Деление степеней с одинаковыми основаниями:

Например: , и если присмотреться, то это обычное сокращение дроби: .

Разумеется, все правила работают и в обратном направлении, только что вот я «расщепил» степень на множители: . Довольно часто приходится выделять степень в степени: , а также «сбрасывать» степень в знаменатель:  и тому подобное.

Но и это ещё не все секреты! На самом деле корень – это тоже степень:

Радикал (корень) можно записать в виде , где  – положительная рациональная дробь . При  получается квадратный корень: . Если же дробь отрицательна, то речь идёт о корне, который находится в знаменателе:
, таким образом: .

Обращаю ваше внимание, что здесь не проводится никаких алгебраических действий:  и  – это две разные ЗАПИСИ одного и того же корня.

Например:  
и давайте что-нибудь страшненькое:  .

Корень  часто записывают в виде  для того, чтобы с комфортом взять от него производную или интеграл. И, кроме того, это мощнейший инструмент для перемножения «разношёрстных» степеней и корней, поскольку рассмотренные выше свойства работают и для дробных показателей:
, после чего результат обычно снова представляют в виде корня:  (с помощью той же формулы ).

Главное, уметь приводить дроби к общему знаменателю:
     так же легко выполняется почленное деление числителя на знаменатель:

и приведение к общему знаменателю:
 – полученный результат как раз можно проверить с помощью почленного деления.

Теперь повторим факты, которые касаются именно корней:

Если  – чётное число, бОльшее нуля, то корень  определён только для неотрицательных значений ; если  – нечётное число, бОльшее единицы, то корень определён для всех .

Корни вида  определены только для неотрицательных значений «икс» (вне зависимости от того, чётное  или нечётное). При этом по возможности их можно (и нужно) сокращать: .

Например:

Вы спрОсите, а что не так с корнем ?  Вроде всё хорошо: .
А дело вот в чём: показатель  можно записать в виде несократимой дроби , и тогда . Но дроби  и  задают одно и то же число! Во избежание этого парадокса и принято считать, что такие корни определены лишь для . Далее:

Если  делится на , то корень   определён для всех значений , при этом , если  – нечётное, и, если  – чётное.
В частности, при :   , если  – чётное и, если  – нечётное.

Самый популярный случай: , например:  - как мы помним, модуль уничтожает возможный знак «минус».  А вот здесь модуль не нужен:  – поскольку «икс квадрат» и так неотрицателен. К слову, при частичном вынесении модуль тоже не нужен: , ибо отрицательным здесь «икс» быть не может.
Другие примеры:  и т.п.
Следует добавить, что все перечисленные факты справедливы и в том случае, если корень расположен в знаменателе.

Среди «вычислительных» свойств наиболее важнЫ следующие, и ими мы тоже пользовались:

Если, то  , и если , то 

Если множители отрицательны, то возможны варианты. Так, корень   «расщеплять» категорически нельзя. Но вот с корнем  это вполне себе «прокатывает».

Другие практически значимые свойства:

Для натуральных  и  справедливо следующее:
Эти факты элементарно выводятся из свойства степеней: .

Например: , впрочем, в высшей математике такие действия приходится выполнять редко.

Кроме того, есть и другие свойства, но они тоже не особо актуальны, порешаем лучше примеры:

Задание 4

а) Упростить:

б) Выполнить действия и записать результат в виде корня:
.

в) Разделить почленно:

г) Привести к общему знаменателю:

д) Преобразовать: 

Решения и ответы в конце книги.

И местечко тут даже на странице ещё осталось, наверное, какого-то свойства не хватает… или просто умной мысли – подумаю и обязательно добавлю, если надумаю – в следующем переиздании книги :)

1.8.1. Арифметическая прогрессия

1.6.4. Как представить сумму в виде произведения?

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.