Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

1.7. Свойства степеней и корней

Быстренько вспоминаем, что такое степень – это свёрнутая запись произведения:
, при этом называется основанием степени, а – показателем степени или тоже степенью. Особый случай: , если .

Повторим важные свойства степеней. Некоторыми из них мы уже вовсю пользовались, в частности:

Для того чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель: . Правило работает для любого количества множителей.

Например: и т.п.
Следующее очевидное свойство следует из определения степени:

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить таким же, а показатели сложить: .

! Не путать с «похожими» действиями! Для разных оснований – правило не работает! Для суммы – тоже нет!

Например:, при этом степень может быть и «навороченной»: – важно только, чтобы у них были одинаковые основания.

Чтобы возвести степень в степень нужно перемножить показатели:

Примеры: , и более замысловатые, но такие же естественные: .

При переносе степени из знаменателя в числитель (или наоборот) у показателя следует сменить знак:

Да, показатель степени может быть и отрицательным! Например: . Числа и называют взаимно обратными, их произведение равно: .
Другие примеры: , ну и можно ещё немножко поизвращаться: , такое тоже встречается J.
Следующее свойство вытекает из предыдущих:

Деление степеней с одинаковыми основаниями:

Например: , и если присмотреться, то это обычное сокращение дроби: .

Разумеется, все правила работают и в обратном направлении, только что вот я «расщепил» степень на множители: . Довольно часто приходится выделять степень в степени: , а также «сбрасывать» степень в знаменатель: и тому подобное.

Но и это ещё не все секреты! На самом деле корень – это тоже степень:

Радикал (корень) можно записать в виде , где – положительная рациональная дробь . При получается квадратный корень: . Если же дробь отрицательна, то речь идёт о корне, который находится в знаменателе:
, таким образом: .

Обращаю ваше внимание, что здесь не проводится никаких алгебраических действий: и – это две разные ЗАПИСИ одного и того же корня.

Например:
и давайте что-нибудь страшненькое: .

Корень часто записывают в виде для того, чтобы с комфортом взять от него производную или интеграл. И, кроме того, это мощнейший инструмент для перемножения «разношёрстных» степеней и корней, поскольку рассмотренные выше свойства работают и для дробных показателей:
, после чего результат обычно снова представляют в виде корня: (с помощью той же формулы ).

Главное, уметь приводить дроби к общему знаменателю:
так же легко выполняется почленное деление числителя на знаменатель:

и приведение к общему знаменателю:
– полученный результат как раз можно проверить с помощью почленного деления.

Теперь повторим факты, которые касаются именно корней:

Если – чётное число, бОльшее нуля, то корень определён только для неотрицательных значений ; если – нечётное число, бОльшее единицы, то корень определён для всех .

Корни вида определены только для неотрицательных значений «икс» (вне зависимости от того, чётное или нечётное). При этом по возможности их можно (и нужно) сокращать: .

Например: .

Вы спрОсите, а что не так с корнем ? Вроде всё хорошо: .
А дело вот в чём: показатель можно записать в виде несократимой дроби , и тогда . Но дроби и задают одно и то же число! Во избежание этого парадокса и принято считать, что такие корни определены лишь для . Далее:

Если делится на , то корень определён для всех значений , при этом , если чётное и нечётное, и – в других случаях.
В частности, при : , если – чётное и, если – нечётное.

Самый популярный случай: , например: - как мы помним, модуль уничтожает возможный знак «минус». А вот здесь модуль не нужен: – поскольку «икс квадрат» и так неотрицателен. К слову, при частичном вынесении модуль тоже не нужен: , ибо отрицательным здесь «икс» быть не может.
Другие примеры: и т.п.
Следует добавить, что все перечисленные факты справедливы и в том случае, если корень расположен в знаменателе.

Среди «вычислительных» свойств наиболее важнЫ следующие, и ими мы тоже пользовались:

Если, то , и если , то

Если множители отрицательны, то возможны варианты. Так, корень «расщеплять» категорически нельзя. Но вот с корнем это вполне себе «прокатывает».

Другие практически значимые свойства:

Для натуральных и справедливо следующее:
Эти факты элементарно выводятся из свойства степеней: .

Например: , впрочем, в высшей математике такие действия приходится выполнять редко.

Кроме того, есть и другие свойства, но они тоже не особо актуальны, порешаем лучше примеры:

Задание 4

а) Упростить:

б) Выполнить действия и записать результат в виде корня:
.

в) Разделить почленно:

г) Привести к общему знаменателю:

д) Преобразовать:

Решения и ответы в конце книги.

И местечко тут даже на странице ещё осталось, наверное, какого-то свойства не хватает… или просто умной мысли – подумаю и обязательно добавлю, если надумаю – в следующем переиздании книги :)

1.8.1. Арифметическая прогрессия

1.6.4. Как представить сумму в виде произведения?

| Оглавление |