Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

2.3. Квадратное уравнение

Данное уравнение имеет вид , где – числа, при этом .

Начнём с частных случаев. Если коэффициенты «бэ» и «цэ» равны нулю, то уравнение можно сократить на «а» и записать его виде . Это уравнение имеет два совпавших или, как говорят математики, кратных корня: .

Если нулю равен коэффициент «бэ», то квадратное уравнение принимает вид и тут две ветки. Если оба коэффициента положительны или оба отрицательны, то уравнение имеет два комплексных корня, типичный пример уже был выше: . Если же коэффициенты разных знаков, то дело сводится к уравнению , которое имеет два корня: и . Так, уравнение имеет корни , в чём легко убедиться прямой подстановкой.

И, наконец, сладкий случай, когда : – выносим «икс» за скобки: и корни выкатываются на блюдечко с голубой каёмочкой: , даже пример приводить неловко :)

Теперь общий случай , где все коэффициенты отличны от нуля.
И сразу то самое уравнение: .

Чтобы решить такое уравнение, нужно вычислить дискриминант – по формуле:

На втором шаге извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

Если корень получился «плохим», например, то без паники. Перепроверьте дискриминант. Если квадратное уравнение появилось в ходе решения задачи, то, возможно, вы допустили ошибку где-то ранее. Но бывает и так, что в условии опечатка либо… так и было задумано! Потому что в любом случае квадратное уравнение разрешимо и имеет ровно два корня:

1) Если , то уравнение имеет два сопряжённых комплексных корня. Это выходит за рамки школьной программы, но для страждущих я ещё раз поставил ссылку :)

2) Если , то уравнение имеет два совпавших (кратных) действительных корня, которые определяются по формуле .

3) И, наконец, . Здесь уравнение имеет два действительных корня:
, – обычно их располагают в порядке возрастания.

В нашем примере:
и

Не забываем о проверке! Самостоятельно подставьте найденные значения в уравнение и убедитесь, что получаются верные равенства.

Следует отметить, что рассмотренный алгоритм формально применИм и для любого частного случая, которые мы разобрали в начале параграфа. А в его заключение – ОЧЕНЬ важная и обещанная вещь:

В практических задачах часто требуется разложить квадратный трёхчлен на множители. Для этого нужно решить уравнение и воспользоваться формулой:

, где – корни данного уравнения.

Так, уравнение имеет корни , и по формуле:

– самостоятельно перемножьте суммы и убедитесь, что получается исходный трёхчлен. Это, кстати, легко сделать устно.

2.4. Неравенства

2.2. Преобразование уравнений

| Оглавление |