1.6.3. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность совместного появления независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события независимы, то вероятность их совместного наступления равна: .

Следует отметить, что несмотря на всю очевидность и «примитивность» этих теорем, все они строго доказаны в теории, и желающие могут найти эти доказательства в учебной литературе. …Зачем нужны такие доказательства? А дело в том, что «очевидно» – это ещё не значит «правильно» ;-)

Вернёмся к простейшему примеру, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий!). Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-й орёл.

События образуют полную группу и сумма их вероятностей должна равняться единице: , что и требовалось проверить.

Тренируемся:

Задача 39
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение: вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие, явно независимые события:
– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению:
– соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие выражается произведением (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная).

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ: 0,504

И после бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:

Задача 40
В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ» ;-) Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.

На практике очень распространена связка рассмотренных теорем:

1.6.4. Задачи на теоремы сложения и умножения

1.6.2. Зависимые и независимые события

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин