Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

3.4. СтепеннАя функция

На самом деле эту функцию мы начали разбирать в предыдущем параграфе, где «икс» находился в первой степени. Но степень может быть и больше, и меньше или вообще быть дробной. Рассмотрим наиболее распространенные случаи:

Функция вида называется квадратичной функцией, а её график – параболой. Если , то ветви параболы «смотрят» вверх, если , то вниз.

Простейшая парабола вам хорошо известна: (см. ниже). Обратите внимание, что график этой функции симметричен относительно оси . Такие функции называют чётными. Аналитически чётность выражается условием . Проверим на чётность нашу функцию, для этого ВМЕСТО подставим :
, значит, функция – чётная.

В общем случае квадратичная функция чётной не является, но симметрию самой параболы никто не отменял и этим удобно пользоваться на практике.

Как быстро построить любую параболу? Очевидно, сначала выгодно найти её вершину, а затем – несколько пар симметричных точек. Посмотрим, как это происходит на примере функции :
Сначала находим вершину, для этого берём производную и приравниваем её к нулю:
Найдём корень уравнения: – тут и находится вершина, её «игрек»:

Теперь найдём опорные точки (обычно хватает четырёх), при этом используем симметрию параболы и принцип «влево-вправо»:

Внимание! Для проверки рассчитываем и то, и то значение, они должны совпасть!

Перечисленные действия обычно выполняются устно или на черновике, а результаты заносятся в табличку:

Осталось отметить найденные точки на чертеже и АККУРАТНО соединить их линией. Рассмотренный алгоритм не является обязательным и в простых случаях вершину параболы можно обнаружить методом «практического тыка», просто перебирая точки. Особенно, если у вас нелады с производными (их рассмотрим в курсе вышмата).

График функции представляет собой ветвь параболы, которая «лежит на боку»:
Как уже отмечалось, эта функция определена лишь для неотрицательных «икс»: ,
и для построения графика удобно использовать следующие опорные точки:

График функции называется кубической параболой. Данная функция симметрична относительно начала координат, и такие функции называют нечётными. Аналитически нечётность выражается условием . Проверим нашу функцию на нечётность, для этого ВМЕСТО подставим : , ч.т.п.

Для построения кубической параболы достаточно отметить точки:

после чего воспользоваться симметрией или как раз нечётностью функции:
.
График функции представляет собой кубическую параболу, «лежащую на боку». В отличие от , эта функция определена для всех «икс»: и тоже является нечётной, ибо «минус» преспокойно выносится вперёд:

График произвольного корня с дробным показателем следует строить, имея в виду область определения того или иного корня. Так, функция , как и , определена только для неотрицательных «икс»: и для построения её графика придётся найти несколько значений приближенно:

Такие значения на математическом жаргоне называют «плохими», но что поделать….
Данная функция не является чётной или нечётной, поскольку она не определена для отрицательных «икс», а значит, условие либо просто не может выполняться.

График функции представляет собой гиперболу. Да, это тоже степенная функция! Ибо . Если , то ветви гиперболы лежат в 1-й и 3-й координатных четвертях, если , то во 2-й и 4-й (см. примеры на чертеже ниже). Очевидно, что перед нами нечётная функция, поскольку: .
Данная функция не определена в точке , а координатные оси являются асимптотами графика – «залезать на них» нельзя! Асимптота, если «на пальцах» – это прямая, к которой график приближается бесконечно близко, но не пересекает её.

Как быстро построить график гиперболы? (да и не только её)
Во многих случаях удобно поточечное построение, построим, например, правую ветвь .
Эта функция не определена в точке , и поэтому вертикальная асимптота будет именно здесь.
Найдём несколько опорных точек (подбирая удобные значения «икс»):

Отмечаем эти точки на чертеже и аккуратно соединяем их линией

Принципиально такую же форму имеют графики – только в первом случае гипербола будет иметь одну ветвь, во втором – две ветви, расположенные в 1-й и 2-й координатных четвертях, и третья гипербола будет похожа на .
Ну и, конечно, творческие задания, которые нас заждались!

Задание 7
а) Решить графически систему уравнений . Догадайтесь сами ;)
б) Построить график . Вспоминаем, как раскрывать модуль.
в) Проверить функции на чётность / нечётность и построить их графики:
, пожалуй, достаточно.

г) Дано – уравнение окружности с центром в начале координат
радиуса . Выразить функции, определяющие верхнюю и нижнюю полуокружность, указать их области определения.

Решения и ответы в конце книги.

3.5. Графическое решение уравнений и неравенств

3.3. Линейная функция

| Оглавление |