Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

3.5. Графическое решение уравнений и неравенств

В предыдущей главе мы решали уравнения и неравенства аналитически, и сейчас вдохнём в эти задачи геометрический смысл. И это вас вдохновит! – это будет просто, это будет круто и это будет красиво! А, главное, чрезвычайно полезно.
Сначала частный случай. Чтобы решить уравнение вида , нужно построить график функции и посмотреть, где он пересекает ось абсцисс. Там и находятся корни. Если точек пересечения нет, то уравнение не имеет действительных решений.
Так, при решении квадратного уравнения через дискриминант мы получили корни , но здесь можно просто построить параболу, и всё понятно без комментариев.

Решением неравенства являются те промежутки, на которых график выше оси ,
и, наоборот, – там, где график ниже оси.

Таким образом, вместо того, чтобы вымучивать неравенство методом интервалов, просто смотрим на график и ответ готов: .
Соответственно, решением неравенства является интервал .

В случае нестрогих неравенств к решениям нужно добавить пограничные точки: и соответственно.

А если вам не хочется возиться с нахождением опорных точек, «тыкая в них наугад» (ведь параболы бывают большие, размашистые), то есть общий случай:

Чтобы решить уравнение , нужно построить графики и найти их точки пересечения. «Иксовые» координаты этих точек и будут решениями. Если графики не пересекаются, то действительных решений нет.

Таким образом, вместо решения уравнения с вычерчиванием параболы, представим его в виде и изобразим элементарные графики:
Подчёркиваю ещё раз, что решением являются «иксовые» координаты точек пересечения.

Решением неравенства являются те промежутки, на которых график выше графика , и, наоборот: – там, где график ниже графика .

Так, решением неравенства являются промежутки – поскольку на них парабола расположена выше прямой. И, наоборот, решением неравенства является промежуток , так как здесь парабола расположена ниже прямой. Аналогично для нестрогих неравенств.

Кстати, всем ли понятно, как из общих правил получаются частные правила для и ? Элементарно. Это тот случай, когда , а эта функция задаёт ось .

Когда удобно использовать графический метод? Прежде всего, в простых случаях. Так, при решении неравенства проще мысленно представить гиперболу, нежели использовать метод интервалов. Где гипербола выше оси ? На интервале . Неравенству соответствует левая ветвь, которая лежит под осью, на интервале . И ещё этот метод хорош для лучшего понимания математики.

Графический способ спасёт в экстремальных ситуациях, например, когда вы позабыли, как решать квадратное уравнение, а помощи ждать неоткуда. Используйте приём, описанный выше – вместо уравнения рассмотрИте с двумя простыми графиками, не построить которые – эт нужно постараться :)

Иногда графика эффективна в уравнениях «разнородными» функциями. Так, для решения уравнения не существует стандартных аналитических методов, но это не беда. Мысленно представляем график и график синуса (о котором позже), после чего сразу понятно, что уравнение имеет единственный корень .

Кстати, в некоторых задачах нужно просто определить количество корней и / или их приблизительное расположение, и на этот вопрос зачастую легко ответит чертёж!

Разумеется, графики должны быть простыми – это важнейшее условие применения графического метода. Ибо строить для решения – затея как-то не очень :) Уж лучше метод интервалов.

И после этого невероятно полезного параграфа возвращается к нашим функциям:

3.6. Показательная функция

3.4. СтепеннАя функция

| Оглавление |