Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики



3.5. Графическое решение уравнений и неравенств


В предыдущей главе мы решали уравнения и неравенства аналитически, и сейчас вдохнём в эти задачи геометрический смысл. И это вас вдохновит! – это будет просто, это будет круто и это будет красиво! А, главное, чрезвычайно полезно.
Сначала частный случай. Чтобы решить уравнение вида , нужно построить график функции  и посмотреть, где он пересекает ось абсцисс. Там и находятся корни. Если точек пересечения нет, то уравнение не имеет действительных решений.
Так, при решении квадратного уравнения  через дискриминант мы получили корни , но здесь можно просто построить параболу, и всё понятно без комментариев.

Решением неравенства  являются те промежутки, на которых график  выше оси ,
и, наоборот,  – там, где график  ниже оси.

Таким образом, вместо того, чтобы вымучивать неравенство  методом интервалов, просто смотрим на график и ответ готов: .
Соответственно, решением неравенства  является интервал .

В случае нестрогих неравенств  к решениям нужно добавить пограничные точки:  и  соответственно.

А если вам не хочется возиться с нахождением опорных точек, «тыкая в них наугад» (ведь параболы бывают большие, размашистые), то есть общий случай:

Чтобы решить уравнение , нужно построить графики  и найти их точки пересечения. «Иксовые» координаты этих точек и будут решениями. Если графики не пересекаются, то действительных решений нет.

Таким образом, вместо решения уравнения  с вычерчиванием параболы, представим его в виде   и изобразим элементарные графики:
Подчёркиваю ещё раз, что решением являются «иксовые» координаты точек пересечения.

Решением неравенства  являются те промежутки, на которых график  выше графика , и, наоборот:  – там, где график  ниже графика .

Так, решением неравенства  являются промежутки  – поскольку на них парабола расположена выше прямой. И, наоборот, решением неравенства   является промежуток , так как здесь парабола расположена ниже прямой. Аналогично для нестрогих неравенств.

Кстати, всем ли понятно, как из общих правил  получаются частные правила для  и ?  Элементарно. Это тот случай, когда , а эта функция задаёт ось .

Когда удобно использовать графический метод? Прежде всего, в простых случаях. Так, при решении неравенства  проще мысленно представить гиперболу, нежели использовать метод интервалов. Где гипербола выше оси ? На интервале . Неравенству  соответствует левая ветвь, которая лежит под осью, на интервале . И ещё этот метод хорош для лучшего понимания математики.

Графический способ спасёт в экстремальных ситуациях, например, когда вы позабыли, как решать квадратное уравнение, а помощи ждать неоткуда. Используйте приём, описанный выше – вместо уравнения  рассмотрИте  с двумя простыми графиками, не построить которые – эт нужно постараться :)

Иногда графика эффективна в уравнениях «разнородными» функциями. Так, для решения уравнения  не существует стандартных аналитических методов, но это не беда. Мысленно представляем график  и график синуса  (о котором позже), после чего сразу понятно, что уравнение имеет единственный корень .

Кстати, в некоторых задачах нужно просто определить количество корней и / или их приблизительное расположение, и на этот вопрос зачастую легко ответит чертёж!

Разумеется, графики должны быть простыми – это важнейшее условие применения графического метода. Ибо строить  для решения   – затея как-то не очень :) Уж лучше метод интервалов.

И после этого невероятно полезного параграфа возвращается к нашим функциям:

3.6. Показательная функция

3.4. СтепеннАя функция

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.