Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

5.5. Распространённые тригонометрические формулы

Следующие несколько фактов и формул нужно просто запомнить наизусть!

Без них ваша учёба может закончиться самым скверным образом.

Во-первых, на практике очень часто используют нечётность синуса и чётность косинуса, а именно, выносят «минус» из-под синуса: , например, , и уничтожают минус под косинусом: , например, . Минус, кстати, выносится и у тангенса с котангенсом.

Осуществимы и обратные действия – «минус» можно «затолкать» под синус:
или поставить его под косинусом: .

Особо подчёркиваю, что здесь мы не получаем каких-то новых функций! Эти преобразования равносильны. В частности, и – это две совершенно одинаковые функции, просто запись разная. Одна запись удобна в одних задачах, другая – в других.

Ещё одна ходовая вещь, которую нужно запомнить «намертво» – это основное тригонометрическое тождество:

Аргумент может быть сложным: и т.д. И обратно, единицу можно превратить в нужную сумму, например:

Чуть позже мы выведем из этого тождества ещё несколько полезных формул.

Внимательные читатели ещё в прошлой главе подметили, что тангенс и котангенс – это два взаимно обратных отношения: (для допустимых углов) и, наоборот: . По правилу пропорции обе функции можно расположить на одном этаже, и тогда мы получаем формулу .
Тангенс можно выразить через синус и косинус: , и, соответственно, котангенс равен обратному отношению: .

Теперь немного расслабьтесь, поскольку критически важные формулы позади, и вы спасены :) Вся прелесть математики состоит в том, что знать нужно немного, и из этого немного можно вывести очень много! Иногда даже маленькую Вселенную. Получим несколько полезных формул из основного тригонометрического тождества. Прежде всего, здесь напрашивается выразить синус через косинус и наоборот:

Когда ставить «плюс», а когда «минус» мы узнаем под занавес курса, в ходе изучения тригонометрических неравенств.

Если тождество разделить почленно на или , то получим ещё две полезные формулы, которые используются в некоторых задачах высшей математики:

Думал не говорить, но всё-таки скажу: не путайте записи и . В первом случае в квадрате находится синус: , а во втором – его аргумент: и, конечно, это не одно и то же: .

И ещё раз заостряю внимание, что параметр «альфа» может быть не только буковкой «икс», но и сложной функцией! Все формулы работают:
и так далее.

Следующая группа – это формулы двойного угла:

и более редкий тангенс: .

Примеры использования:

Мегапопулярные формулы понижения степени:

Запоминать их не нужно, сами запомнятся :). Натыкаться будете на каждом шагу.

Примеры:

Разумеется, все рассматриваемые формулы работают и в обратном направлении, так, степень иногда требуется и повысить:

Ну и еще куча похожих друг на друга формул. Сразу скажу, что них есть одно замечательное свойство – упорно не запоминаться. Я сотни раз искал их в справочнике, так и не запомнилась ни одна. Итак, для произвольных углов «альфа» и «бета» справедливо следующее.

Раз:

Два:

Три:

Есть еще аналогичные формулы для тангенсов и котангенсов, но о них не будем, в 99,9% случаях – не встретите. Да и перечисленные формулы встречаются довольно редко. Но встречаются. Поэтому примеры употребления (1-я формула из каждой группы):

5.6. Обратные тригонометрические функции

5.4. Периодичность и взаимосвязь функций. Формулы приведения

| Оглавление |