5.8. Тригонометрические неравенства
Только что мы разобрали уравнения и сейчас очередь за соответствующими неравенствами – строгими и нестрогими . Эти неравенства тоже можно решить разными способами, но я по-прежнему ратую за графический метод решения, он полезнее и нагляднее. Вспоминаем общий принцип:
Решением неравенства являются те интервалы числовой прямой (оси ), на
которых график функции расположен выше графика прямой . И, наоборот, неравенству соответствуют
интервалы, где график ниже графика . Если неравенства нестрогие,
то к решению нужно добавить допустимые граничные точки, то есть вместо интервалов получатся отрезки либо полуинтервалы.
И из этих соображений сразу «щёлкаются» некоторые примеры:
– решением этого неравенства являются все
значения «икс», поскольку синусоида полностью лежит под графиком прямой . Соответственно, неравенство решений не имеет, т.к. выше прямой синусоиды нет.
– решением этого неравенства тоже является любое
«икс»: , ибо график расположен не ниже прямой .
Теперь переходим к общему случаю. В предыдущем параграфе я начал с синуса, и сейчас для разнообразия «запилим» с косинуса.
Алгоритм решения рассмотрим на конкретном примере: .
Решением данного неравенства являются те участки оси , на которых график выше графика :
![](t/5_1_kratkiy_kurs_trigonometrii_clip_image237.jpg)
На картинке всё тип-топ, но как получить это красивое решение аналитически? Сначала нужно решить соответствующее уравнение: , по общей
формуле: , при этом нас будут
интересовать два корня, которые расположены близко к началу координат. Очевидно, это корни . Таким образом, неравенство выполнено на интервале (малиновая штриховка) и из чертежа следует, что эта ситуация
повторяется через каждые радиан, то
есть решением данного неравенства является множество интервалов:
, где …. Громоздко, но довольно просто! Так, при получаем интервал, который левее: , а при – интервал, который правее: (синие штриховки).
Противоположному неравенству соответствуют
те участки оси , на которых график косинуса ниже прямой. Нетрудно выяснить, что это интервал и его «клоны», повторяющиеся через каждые радиан: .
Если аргумент тригонометрической функции более сложный, например, то неравенство удобно решить аналитически, используя некоторые геометрические факты и тот
же алгоритм. График функции имеет такой же вид,
как и , только он сжат по горизонтали (как
«гармошка») в два раза. Сначала решим соответствующее уравнение: . По общей формуле: , откуда выражаем . Нас по-прежнему интересует два ближайших к нулю угла, и это углы . На интервале график расположен выше прямой и эта ситуация повторяется через каждые (внимание!) радиан (так как период сократился в 2 раза), таким образом, решение: .
И обещанный вывод формулы, выражающей косинус через синус на примере простого аргумента
(«икс»). Из основного тригонометрического тождества выражаем , после чего извлекли корень из обеих частей: . Теперь вспоминаем, как извлекается этот
корень: и как раскрывается модуль: ![](t/5_1_kratkiy_kurs_trigonometrii_clip_image292.gif)
Решим неравенство . График косинуса не
ниже прямой (оси ) на отрезке и аналогичная ситуация повторяется через каждые радиан. Таким образом, если , то , и мы получаем формулу со знаком «плюс»: . Неравенство , очевидно, выполнено на интервалах (анализируем чертёж выше), в этом случае мы получаем и формулу со знаком «минус»: ![](t/5_1_kratkiy_kurs_trigonometrii_clip_image312.gif)
Аналогично с «зеркальной» формулой: . Синусоида (представили в уме!) не ниже оси на отрезках и иже с ним, поэтому при этих значениях угла: . Синусоида ниже оси на интервалах и иже с ним – при этих углах синус отрицателен, и в формуле следует поставить знак
«минус»: ![](t/5_1_kratkiy_kurs_trigonometrii_clip_image324.gif)
Таким образом, простые неравенства можно решать устно! – это доступно даже «чайнику», главное, помнить, как выглядят графики функций, и где они
пересекают ось абсцисс. Следует также заметить, что во многих задачах высшей математики неравенство нужно решить только
для одного (обычно первого) периода. Так, для неравенства берут лишь отрезок , а для – лишь .
И синусы (с тангенсами заодно) я очень скоро предложу вам для самостоятельного решения, после того, как мы разберём котангенс на примере
неравенства .
Изобразим на чертеже график и прямой :
Нашему неравенству соответствуют те участки оси , где график
котангенса не выше прямой. Рассмотрим «главный» период котангенса (от 0 до «пи») и найдём «иксовую» координату
точки пересечения графиков: . Таким образом,
получаем полуинтервал и, очевидно, эта ситуация
повторяется через каждые радиан: ![](t/5_1_kratkiy_kurs_trigonometrii_clip_image343.gif)
Легко понять, что противоположному неравенству соответствует интервал (где котангенс выше прямой) и его «клоны»: . Ну а неравенства вообще решаются устно: Если аргумент с множителем, например, , то можно использовать тот же шаблон: и для того, чтобы выразить «икс», нужно умножить на три каждую границу: . График имеет такую же форму, как и , но растянут по горизонтали в 3 раза (т.е. период был , а стал ).
И в заключение обещанный пункт для самостоятельного решения:
ж) Решить неравенства: если (найти решение на первом периоде), .
Решения и ответы в конце книги.
И я Вас поздравляю с успешным (надеюсь) завершением курса!
Должен сказать, в нём есть что-то сакральное. Дело в том, что я получил советское образование и окончил 10 классов, и сейчас у меня получилось
ровно 100 страниц (по 10 на класс) и ровно 10 заданий для самостоятельного решения! Причём, и то, и другое вышло совершенно непреднамеренно – я
ничего не сокращал и ничего не «подгонял». Желаю успехов и до скорых встреч в курсе высшей математики!
5.7. Простейшие тригонометрические уравнения
| Оглавление |
|