Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

5.8. Тригонометрические неравенства

Только что мы разобрали уравнения и сейчас очередь за соответствующими неравенствами – строгими и нестрогими . Эти неравенства тоже можно решить разными способами, но я по-прежнему ратую за графический метод решения, он полезнее и нагляднее. Вспоминаем общий принцип:

Решением неравенства являются те интервалы числовой прямой (оси ), на которых график функции расположен выше графика прямой . И, наоборот, неравенству соответствуют интервалы, где график ниже графика . Если неравенства нестрогие, то к решению нужно добавить допустимые граничные точки, то есть вместо интервалов получатся отрезки либо полуинтервалы.

И из этих соображений сразу «щёлкаются» некоторые примеры:

– решением этого неравенства являются все значения «икс», поскольку синусоида полностью лежит под графиком прямой . Соответственно, неравенство решений не имеет, т.к. выше прямой синусоиды нет.

– решением этого неравенства тоже является любое «икс»: , ибо график расположен не ниже прямой .

Теперь переходим к общему случаю. В предыдущем параграфе я начал с синуса, и сейчас для разнообразия «запилим» с косинуса. Алгоритм решения рассмотрим на конкретном примере: . Решением данного неравенства являются те участки оси , на которых график выше графика :

На картинке всё тип-топ, но как получить это красивое решение аналитически? Сначала нужно решить соответствующее уравнение: , по общей формуле: , при этом нас будут интересовать два корня, которые расположены близко к началу координат. Очевидно, это корни . Таким образом, неравенство выполнено на интервале (малиновая штриховка) и из чертежа следует, что эта ситуация повторяется через каждые радиан, то есть решением данного неравенства является множество интервалов:
, где …. Громоздко, но довольно просто! Так, при получаем интервал, который левее: , а при – интервал, который правее: (синие штриховки).

Противоположному неравенству соответствуют те участки оси , на которых график косинуса ниже прямой. Нетрудно выяснить, что это интервал и его «клоны», повторяющиеся через каждые радиан: .

Если аргумент тригонометрической функции более сложный, например, то неравенство удобно решить аналитически, используя некоторые геометрические факты и тот же алгоритм. График функции имеет такой же вид, как и , только он сжат по горизонтали (как «гармошка») в два раза. Сначала решим соответствующее уравнение: . По общей формуле: , откуда выражаем . Нас по-прежнему интересует два ближайших к нулю угла, и это углы . На интервале график расположен выше прямой и эта ситуация повторяется через каждые (внимание!) радиан (так как период сократился в 2 раза), таким образом, решение: .

И обещанный вывод формулы, выражающей косинус через синус на примере простого аргумента («икс»). Из основного тригонометрического тождества выражаем , после чего извлекли корень из обеих частей: . Теперь вспоминаем, как извлекается этот корень: и как раскрывается модуль:
Решим неравенство . График косинуса не ниже прямой (оси ) на отрезке и аналогичная ситуация повторяется через каждые радиан. Таким образом, если , то , и мы получаем формулу со знаком «плюс»: . Неравенство , очевидно, выполнено на интервалах (анализируем чертёж выше), в этом случае мы получаем и формулу со знаком «минус»:

Аналогично с «зеркальной» формулой: . Синусоида (представили в уме!) не ниже оси на отрезках и иже с ним, поэтому при этих значениях угла: . Синусоида ниже оси на интервалах и иже с ним – при этих углах синус отрицателен, и в формуле следует поставить знак «минус»:

Таким образом, простые неравенства можно решать устно! – это доступно даже «чайнику», главное, помнить, как выглядят графики функций, и где они пересекают ось абсцисс. Следует также заметить, что во многих задачах высшей математики неравенство нужно решить только для одного (обычно первого) периода. Так, для неравенства берут лишь отрезок , а для – лишь .

И синусы (с тангенсами заодно) я очень скоро предложу вам для самостоятельного решения, после того, как мы разберём котангенс на примере неравенства .

Изобразим на чертеже график и прямой :
Нашему неравенству соответствуют те участки оси, где график котангенса не выше прямой. Рассмотрим «главный» период котангенса (от 0 до «пи») и найдём «иксовую» координату точки пересечения графиков: . Таким образом, получаем полуинтервал и, очевидно, эта ситуация повторяется через каждые радиан:
Легко понять, что противоположному неравенству соответствует интервал (где котангенс выше прямой) и его «клоны»: . Ну а неравенства вообще решаются устно: Если аргумент с множителем, например, , то можно использовать тот же шаблон: и для того, чтобы выразить «икс», нужно умножить на три каждую границу: . График имеет такую же форму, как и , но растянут по горизонтали в 3 раза (т.е. период был , а стал ).

И в заключение обещанный пункт для самостоятельного решения:

ж) Решить неравенства: если (найти решение на первом периоде), .

Решения и ответы в конце книги.

И я Вас поздравляю с успешным (надеюсь) завершением курса!

Должен сказать, в нём есть что-то сакральное. Дело в том, что я получил советское образование и окончил 10 классов, и сейчас у меня получилось ровно 100 страниц (по 10 на класс) и ровно 10 заданий для самостоятельного решения! Причём, и то, и другое вышло совершенно непреднамеренно – я ничего не сокращал и ничего не «подгонял». Желаю успехов и до скорых встреч в курсе высшей математики!

5.7. Простейшие тригонометрические уравнения

| Оглавление |