Ваш репетитор, справочник и друг!

Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики



5.8. Тригонометрические неравенства


Только что мы разобрали уравнения  и сейчас очередь за соответствующими неравенствамистрогими  и нестрогими . Эти неравенства тоже можно решить разными способами, но я по-прежнему ратую за графический метод решения, он полезнее и нагляднее. Вспоминаем общий принцип:

Решением неравенства  являются те интервалы числовой прямой (оси ), на которых график функции  расположен  выше графика прямой . И, наоборот, неравенству  соответствуют интервалы, где график  ниже графика . Если неравенства нестрогие, то к решению нужно добавить допустимые граничные точки, то есть вместо интервалов получатся отрезки либо полуинтервалы.

И из этих соображений сразу «щёлкаются» некоторые примеры:

 – решением этого неравенства являются все значения «икс», поскольку синусоида  полностью лежит под графиком прямой . Соответственно, неравенство  решений не имеет, т.к. выше прямой синусоиды нет.

 – решением этого неравенства тоже является любое «икс»: , ибо график  расположен не ниже прямой .

Теперь переходим к общему случаю. В предыдущем параграфе я начал с синуса, и сейчас для разнообразия «запилим» с косинуса. Алгоритм решения рассмотрим на конкретном примере: . Решением данного неравенства являются те участки оси , на которых график  выше графика :

На картинке всё тип-топ, но как получить это красивое решение аналитически? Сначала нужно решить соответствующее уравнение: , по общей формуле: , при этом нас будут интересовать два корня, которые расположены близко к началу координат. Очевидно, это корни . Таким образом, неравенство  выполнено на интервале  (малиновая штриховка) и из чертежа следует, что эта ситуация повторяется через каждые  радиан, то есть решением данного неравенства является множество интервалов:
, где …. Громоздко, но довольно просто! Так, при   получаем интервал, который левее: , а при  – интервал, который правее:   (синие штриховки).

Противоположному неравенству  соответствуют те участки оси , на которых график косинуса ниже прямой. Нетрудно выяснить, что это интервал  и его «клоны», повторяющиеся через каждые  радиан: .

Если аргумент тригонометрической функции более сложный, например,  то неравенство удобно решить аналитически, используя некоторые геометрические факты и тот же алгоритм. График функции  имеет такой же вид, как и , только он сжат по горизонтали (как «гармошка») в два раза. Сначала решим соответствующее уравнение: . По общей формуле: , откуда выражаем . Нас по-прежнему интересует два ближайших к нулю угла, и это углы .  На интервале  график  расположен выше прямой  и эта ситуация повторяется через каждые (внимание!)  радиан (так как период сократился в 2 раза), таким образом, решение: .

И обещанный вывод формулы, выражающей косинус через синус на примере простого аргумента («икс»). Из основного тригонометрического тождества выражаем , после чего извлекли корень из обеих частей: . Теперь вспоминаем, как извлекается этот корень:  и как раскрывается модуль:
Решим неравенство . График косинуса не ниже прямой  (оси ) на отрезке  и аналогичная ситуация повторяется через каждые радиан. Таким образом, если , то , и мы получаем формулу со знаком «плюс»: .  Неравенство , очевидно, выполнено  на интервалах  (анализируем чертёж выше), в этом случае мы получаем  и  формулу со знаком «минус»:

Аналогично с «зеркальной» формулой:   . Синусоида (представили в уме!) не ниже оси  на отрезках  и иже с ним, поэтому при этих значениях угла: . Синусоида ниже оси  на интервалах  и иже с ним – при этих углах синус отрицателен, и в формуле следует поставить знак «минус»:

Таким образом, простые неравенства можно решать устно! – это доступно даже «чайнику», главное, помнить, как выглядят графики функций, и где они пересекают ось абсцисс. Следует также заметить, что во многих задачах высшей математики неравенство нужно решить только для одного (обычно первого) периода. Так, для неравенства  берут лишь отрезок , а для  – лишь .

И синусы (с тангенсами заодно) я очень скоро предложу вам для самостоятельного решения, после того, как мы разберём котангенс на примере неравенства .

Изобразим на чертеже график  и прямой :
Нашему неравенству соответствуют те участки оси, где график котангенса не выше прямой. Рассмотрим «главный» период котангенса (от 0 до «пи») и найдём «иксовую» координату точки пересечения графиков: . Таким образом, получаем полуинтервал  и, очевидно, эта ситуация повторяется через каждые  радиан:
Легко понять, что противоположному неравенству  соответствует интервал  (где котангенс выше прямой) и его «клоны»: . Ну а неравенства  вообще решаются устно:  Если аргумент с множителем, например, , то можно использовать тот же шаблон:  и для того, чтобы выразить «икс», нужно умножить на три каждую границу: . График  имеет такую же форму, как и , но растянут по горизонтали в 3 раза (т.е. период был , а стал ).

И в заключение обещанный пункт для самостоятельного решения:

ж) Решить неравенства:  если  (найти решение на первом периоде), .

Решения и ответы в конце книги.

И я Вас поздравляю с успешным (надеюсь) завершением курса!

Должен сказать, в нём есть что-то сакральное. Дело в том, что я получил советское образование и окончил 10 классов, и сейчас у меня получилось ровно 100 страниц (по 10 на класс) и ровно 10 заданий для самостоятельного решения! Причём, и то, и другое вышло совершенно непреднамеренно – я ничего не сокращал и ничего не «подгонял». Желаю успехов и до скорых встреч в курсе высшей математики!

5.7. Простейшие тригонометрические уравнения

| Оглавление |




  © mathprofi.ru - mathter.pro, 2010-2022, сделано в Блокноте.