Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

5.7. Простейшие тригонометрические уравнения

Нам будет достаточно повторить уравнения , где – константа. Ну и чуть более сложные, когда аргумент равен и т.п. В силу периодичности тригонометрических функций эти уравнения имеют бесконечно много решений, а синус с косинусом могут не иметь их вовсе. И в самом деле, уравнению или соответствует бесконечно много углов, а вот с – печаль.

С синуса и начнём: . Поскольку синус ограничен, то это уравнение имеет корни только в том случае, если .

И эти корни таковы, общая формула: , где принимает все целые значения, сокращённо будем писать: .
Так решением уравнения являются углы:

Распишем несколько штук для

Довольно часто в задачах требуется найти какой-то конкретный угол (или углы), так, если по условию угол должен быть тупым, то следует выбрать корень .

А теперь важный вопрос: откуда взялась общая формула? В школьном курсе формулы выводятся с помощью единичной окружности, но сейчас нам гораздо полезнее вспомнить графический метод решения уравнений. Строим синусоиду и прямую , например, (малиновый цвет). После чего определяем «иксовые» координаты их точек пересечения (малиновые отметки на оси ):

Это и есть корни. Осталось уловить периодичность расположения корней и сконструировать формулу. Отработаем этот принцип на важных частных случаях:

Решим графически уравнение . Из чертежа следует, что прямая пересекает синусоиду через каждые радиан, начиная от значения (выбираем самое маленькое). Таким образом, уравнение имеет корни (синие точки):
. Легко видеть, что решением уравнения является множество углов (красные точки), а решением – углы .

Все формулы справедливы не только для переменной , но и для сложного аргумента, например, (самые популярные) и других. Решим, например, уравнение . Используем только что выведенную частную формулу, только ВМЕСТО «икс» у нас «два икс»: . Но это ещё не всё, ведь нам нужно выразить «икс»: .

Готово.

Разумеется, встречаются и «плохие» решения, рассмотрим уравнение . Приведём его к виду , и по общей формуле: . Этот арксинус можно вычислить лишь приближенно: и поэтому ответ лучше оставить с арксинусом.

Решим уравнение . Как и в случае с синусом, оно имеет корни, только если . Изобразим на чертеже графики функций и определим «иксовые» координаты их точек пересечения. Во-первых, обращаем внимание на самые близкие к нулю значения: (красная и синяя точки вблизи нуля):

И анализируя точки пересечения графиков, легко понять, что «красные» корни повторяются через каждые радиан: и «синие» корни тоже повторяются через этот же период: . Обе ветки решения можно объединить в общую формулу:
Решим, например, уравнение . Уловка здесь детская: избавляемся от иррациональности в знаменателе: , после чего записываем «хороший» ответ:
. Именно это случай я изобразил на схематическом чертеже выше и желающие могут ещё раз осмыслить общую формулу, используя конкретные значения углов.

И в качестве задания я предложу вам вывести три частные формулы для уравнений . Уже скоро на экранах ваших мониторов! :) Разумеется, аргумент может быть сложным: . Формула та же самая: . Единственное, не забываем выразить «икс», разделив всё семейство углов на три: .

Осталось два более простых уравнения.

Уравнение имеет решения при любом значении , и ситуация здесь прозрачна, даже чертежа особо не нужно: «главная» ветка тангенса расположена на интервале , берём отсюда угол: и добавляем периоды тангенса:
– общая формула.

В качестве примера решим приятное уравнение :
Готово!

И всё же приведу чертёж для этого и двух других частных случаев:
Решением уравнения является множество углов .
Решением уравнения – множество:

Эти формулы легко получить как аналитически (по общей формуле), так и графически.