Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

5.6. Обратные тригонометрические функции

Оглашаю весь список: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Они предназначены для того, чтобы по известному синусу, косинусу, тангенсу или арктангенсу угла, определить сам угол. Например, если , то . Если , то . Если , то и .

Но здесь есть одна проблемка: дело в том, что значению (например) соответствует бесконечно много углов, а обратная функция (как и любая функция) должна быть определена однозначно. И эта проблемка решена так,… объясню на конкретном примере, а то у меня тут правило кошмарное получилось, которое я сразу удалил :).

Синус принимает все свои возможные значения (от –1 до 1) на отрезке , и во избежание разночтений арксинус возвращает углы только из этого отрезка:

Так, если , то обратная функция все равно вернёт угол и уже к этому результату нужно «прикрутить» нужное количество радиан , чтобы получить . Таким образом, функция определена на отрезке
и, очевидно, нечётна, то есть, из-под арксинуса тоже можно вынести минус:

Аналогично, косинус принимает все свои возможные значения (от 1 до –1) на отрезке , и поэтому арккосинус возвращает углы только из этого промежутка:

Функция определена на том же промежутке , однако не является чётной или нечётной.

С арктангенсом и арккотангенсом всё проще. График представляет собой ветку тангенса, которая «лежит на боку»:

Данная функция определена на всей числовой прямой и возвращает углы из интервала . Арктангенс нечётен: . График функции ограничен горизонтальными асимптотами и (красный пунктир).

График арккотангенса ограничен асимптотами и :

Арккотангенс тоже определён на всей числовой прямой , но возвращает углы из интервала . Данная функция не является чётной или нечётной.

Внимание! Функцию часто машинально «принимают» за арктангенс,
и чтобы не «обознаться», внимательно всматривайтесь, какая функция вам дана!

Следует отметить, что две взаимно обратные функции взаимоуничтожают друг друга. Вспомним экспоненту и натуральный логарифм: и наоборот, (основное логарифмическое тождество).

С тригонометрическими функциями и «арками» то же самое, в частности:
и (для допустимых значений «икс») и аналогично для трёх других пар.

Кроме того, у «арков» существуют свои формулы и взаимосвязи, но они не столь актуальны в массовой практике. Кстати, здесь к месту такой совет:

Если ваша задача «зашла в тупик»,
то есть смысл заглянуть в математический справочник или учебник

Потому что различных фактов, правил и формул просто тьма, и это особенно характерно для геометрии и тригонометрии. Тех же тригонометрических формул – многие и многие десятки.

5.7. Простейшие тригонометрические уравнения

5.5. Распространённые тригонометрические формулы

| Оглавление |