Ваш репетитор, справочник и друг!

Кратчайший курс школьной математики

3.7. Логарифмы и логарифмическая функция

Оглавление:

Понятие логарифма
Свойства логарифмов
Логарифмирование и потенцирование
Логарифмическая функция и её график
Уравнения и неравенства с логарифмами

Понятие логарифма

Рассмотрим уравнение , которое задаёт нам вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? На этот вопрос отвечает логарифм , который равен трём: . …замысловато? Ну не зря же это проходят в старших классах :)
– в какую степень нужно возвести «е», чтобы получить 1?
– в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 1/100?

И вообще, – в какую степень нужно возвести «а», чтобы получить «бэ»?

Логарифмом числа по основанию :
– называется степень «пэ» , в которую нужно возвести «а», чтобы получить «бэ».
Из чего следует основное логарифмическое тождество: .
…тождество – это такое железобетонное равенство :)

Сама запись читается как « логарифм «бэ» по основанию «а» », и очевидно, что логарифм определён лишь для положительных «бэ»: – по той причине, что положительное «а» в любой действительной степени «пэ»: – положительно.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, и для краткости обозначают значком , например: .

Логарифм по основанию «е» называют натуральным логарифмом и обозначают значком , например: . В высшей математике в ходу именно натуральные логарифмы, и в дальнейшем мы уделим им самое пристальное внимание.

Свойства логарифмов

Как и в случае со степенями / корнями, я не буду разбирать все свойства, а остановлюсь лишь на тех, которые имеют большое значение для практики.
Переход к новому основанию: , причём новое основание «цэ» вы можете выбрать по своему желанию (из доступных вариантов: ), например:
. Но гораздо чаще встречается частный случай формулы: , например: . Разумеется, формула работает и в обратном направлении, что бывает удобным, когда нужно избавиться от знаменателя: .
Если то справедливо следующее (и слева направо и справа налево):

Например: .
Обращаю внимание, что эти действия выполнимы только для логарифмов с одинаковыми основаниями, не путайте с «похожими» ситуациями: , или . Однако в последнем случае можно сделать так: .
Далее. Для и любого действительного числа :

Например: – и это просто волшебство! Ведь это здОрово избавиться от 50-й степени! Популярно и обратное действие, особенно, когда нужно выполнить другие упрощения:
Перечисленные правила можно распространить на отрицательные значения «бэ», но тогда нужно добавить модули:

, если чётное. Например: – и равносильность соблюдена, поскольку полученный логарифм тоже определён для отрицательных «икс».
А вот такое преобразование неравносильно: , и поэтому здесь следует обязательно указать, что .
В случае иных значений модуль не нужен: – по той причине, что и исходные и полученные логарифмы определены только для положительных значений «икс».

Логарифмирование и потенцирование

Логарифмирование – это перевод чисел или уравнений в логарифмический масштаб или, попросту говоря, «навешивание» логарифмов.
Данное действие удобно использовать при работе с астрономическими или микроскопическими числами, особенно, если они находятся в произведении. Так, число целесообразно уменьшить, «навесив» на него логарифм, выгодно взять десятичный логарифм: – далее переводим другие числа в тот же масштаб (логарифмируем по основанию десять)
и работаем (выполняем действия) с гораздо более маленькими значениями.
Логарифмирование незаменимо при решении некоторых уравнений, например:

Для разрешения этого уравнения относительно «икс» «навесим» на обе его части логарифмы, обычно используют натуральные логарифмы:

в левой части «сносим» степень, и порядок:

и «любительская» проверочка: , около 80, что и требовалось проверить.
При логарифмировании нужно следить за знаками, так, обе части уравнения (функции) определены и положительны при любом значении «икс», поэтому здесь можно смело логарифмировать: , получая равносильное уравнение.
А вот у функции обе части могут быть меньше нуля, и поэтому здесь нужно добавить модули: , квадратному корню модуль не нужен: . Однако это действие всё равно неравносильно т.к. мы потеряли значение (почему?). Но это не помеха для решения некоторых задач, например, для нахождения производной, где можно пренебречь даже модулями. Да, а зачем логарифмировать? Чтобы упростить правую часть: .

Потенцирование – это обратная операция, «избавление» от логарифмов.
Предположим юные физики вдоволь нарезвились с вычислениями в десятичном логарифмическом масштабе, и хотят перевести результат обратно. Без проблем:
, используем свойства степеней, логарифмов и основное логарифмическое тождество: .
Потенцирование используют для того, чтобы выразить функцию в явном виде, например: – «упаковываем» логарифмы в правой части:

, после чего просто убираем логарифмы и модули заодно:

Такие действия выполняют при решении некоторых дифференциальных уравнений

Логарифмическая функция и её график

В логарифмической функции фиксируется основание «а», а значение «бэ» является независимой переменной:
– данная функция каждому положительному значению «икс» ставит в соответствие степень «игрек», такую, что:
Таким образом, логарифмическая и показательная функция – это две взаимно обратные функции, и график логарифма тоже представляет собой экспоненциальную кривую, только расположена она по-другому. Так, график натурального логарифма имеет следующий вид (запомните его!):
Удобные опорные точки:

Принципиально так же выглядит график любого логарифма с основанием , в частности, десятичный логарифм

Если , то графики оказываются «развёрнутыми наоборот» относительно оси , например, . Но такие логарифмы в высшей математике встречаются довольно редко.

Однако и в том и в другом случае логарифмическая функция проходит через точку , а ось является вертикальной асимптотой графика.
Если «начинка» логарифма более сложная, то, естественно, график будет видоизменяться и мигрировать вместе с асимптотой. Построим, например, график функции . Это удобно сделать по следующей схеме: сначала из уравнения находим вертикальную асимптоту (оранжевый пунктир на чертеже). Теперь нужно выяснить область определения функции. Логарифм определён только в том случае, если его «начинка» строго больше нуля: , и преобразуя это простое неравенство, получаем, что: . Найдём затем несколько опорных точек:

и аккуратно соединим их линией. Для вычисления «игреков» удобно использовать калькулятор, например, Калькулятор, приложенный к этой книге.
Ещё пример (на чертеже отсутствует): – график этого логарифма имеет две симметричные относительно оси ветви (т.к. функция чётная), и эта функция не определена лишь в точке . А вот этот логарифм: – определён всюду, поскольку при любом значении «икс».
Только что рассмотренные функции называют сложными или композиционными – это функции, в которые «вложены» другие функции: . В наших трёх примерах под логарифмом оказались линейная и квадратичные функции.

Уравнения и неравенства с логарифмами

В параграфе о логарифмировании и потенцировании мы искусственно «навешивали» логарифмы на обе части уравнения либо избавлялись от них. А сейчас речь пойдёт об уравнениях и неравенствах, где логарифм присутствует изначально.
Начнем с простых случаев… и закончим ими:)
Уравнение вида ( – константа) очевидным образом приводится к уравнению . Например:

ну и давайте что-нибудь посодержательнее:

С геометрической точки зрения это означает, что график функции пересекает график (ось ) в точке .
И, конечно, проверка – подставим в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть, ОК.
Уравнение вида тоже разрешимо из естественных соображений: логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если , при этом корни должны быть ТАКИМИ, чтобы для них выполнялись условия . Так, для решения уравнения потенцируем обе части:
, откуда получаем корень , после чего обязательно подставляем его в исходное уравнение: – верное равенство.
А теперь рассмотрим такое уравнение: , где после избавления от логарифмов всё вроде бы хорошо: , однако корнями эти значения не являются, т.к. не входят в область определения логарифмов.

Неравенства. Простейшие из них удобно решать графически, причём мысленно. Рассмотрим неравенство . Это неравенство предлагает нам определить участок, где график натурального логарифма выше оси . Вспомнили, взглянули? . Аналогично, неравенству соответствует интервал , где график логарифма ниже оси абсцисс. В случае нестрогих неравенств в решения следует добавить единичку.
И рассмотрим общий случай , где «пэ» – произвольная константа.
Во-первых, «начинка» логарифма должны быть строго больше нуля: . Это незыблемое условие, о котором ни в коем случае забывать нельзя! Теперь разбираемся с основным неравенством: сначала в правой части искусственно добавляем множитель: . Обратите внимание, что и статус-кво соблюдён. В правой части поднимаем «пэ» в показатель: и дальше следует развилка:
если , то решаем систему , если – то систему: .
Как видите, в 1-м случае после потенцирования знак неравенства следует сменить на противоположный.
Неравенство решается аналогично с финальными системами:
, если и (без смены знака), если .
Если изначальные неравенства нестрогие, то нижние неравенства в системах тоже будут нестрогими. И ещё раз – условие незыблемо при любых раскладах!
Как я уже отмечал, на практике почти всегда встречает второй случай, когда , ему и уделим внимание. Дорешаем неравенство , которое мы начали в параграфе Метод интервалов. Там была найдена область определения логарифма :
и сейчас нужно решить вторую часть задания. Согласно формальному алгоритму, домножаем правую часть неравенства: , поднимаем ноль наверх: и получаем: . Так как основание логарифма , то при потенцировании знак неравенства менять не нужно: . Преобразуя это простенькое неравенство, получаем: . Таким образом, имеем систему . Решение 1-го неравенства я отмечу сверху, а 2-го – снизу:

Решением системы и исходного неравенства является пересечение (общая часть) промежутков: – да, вот такой вот совсем небольшой интервал.
Как вариант, неравенство нетрудно решать графически – с графиком этого логарифма никаких проблем. И я предлагаю вам это задание в числе других для самостоятельного выполнения. Если что-то не запомнилось или не уложилось в голове, вернитесь к предыдущим параграфам:

Задание 8

а) Решить графически:
б) Определить количество действительных корней уравнения
в) Почему уравнение мы можем сократить на два, но на два нельзя сокращать правую часть ? Пояснить аналитически и геометрически
г) Вычислить или упростить:
, пожалуй, хватит, а то уже извращение какое-то пошло :)
д) Решить аналитически:
и для особых любителей пример посложнее: .

Решения и ответы в конце книги.

4.1. Геометрия. Элементарные геометрические фигуры

3.6. Показательная функция

| Оглавление |