Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

2.3.2. Биномиальное распределение вероятностей

Или биномиальный закон распределения вероятностей. По моим наблюдениям и личной статистике, это наиболее распространённый вид дискретного распределения, с которым мы уже встречались добрый десяток раз. И старая добрая формулировка:

Пусть проводится независимых испытаний (не обязательно повторных), в каждом из которых случайное событие может появиться с вероятностью. Тогда случайная величина – число появлений события в данной серии испытаний, имеет биномиальное распределение.

Совершенно понятно, что эта случайная величина может принять одно из следующих значений:
.

Пусть, например: монета подбрасывается 5 раз. Тогда случайная величина
– количество появлений орла распределена по биномиальному закону. Орёл обязательно выпадет:

или раз, или , или , или , или , или раз.

Как вы правильно догадались, соответствующие вероятности определяются формулой Бернулли:
, где:

– количество независимых испытаний;
– вероятность появления события в каждом испытании;
– вероятность непоявления события в каждом испытании;
– сколько раз может появиться событие в данной серии испытаний (список всех возможных значений).

Сведём этот закон распределения в таблицу:

Вероятности являются членами бинома Ньютона (см. Приложение Формулы комбинаторики), благодаря чему распределение и получило своё название. По формуле бинома (см. там же):
, что мы и ожидали увидеть.

В нашем примере с монеткой:
– вероятность того, что в 5 испытаниях орёл не выпадет вообще ();

– вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно раз;
– вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно раза;

– … ровно раза;

– … ровно раз.

Таким образом, закон распределения числа выпавших орлов:

Контроль:

Легко видеть, что нахождение биномиального ряда – есть занятие муторное, и это хорошо, если он содержит 3-4-5-6 значений. А ведь немало задач, где требуется рассчитать 8-10, а то и бОльшее количество вероятностей!

Поэтому вычисления целесообразно автоматизировать в Экселе с помощью его стандартной функции:

=БИНОМРАСП(m; n; p; 0), где количество «успехов» в испытаниях,
а – вероятность успеха в каждом испытании.

Именно так реализован Пункт 3 Калькулятора, ну и особо крутая плюшка – это Пункт 6, в котором биномиальное распределение получается автоматически!

Однако на практике вычисления нужно расписывать подробно, да и Эксель не всегда бывает под рукой, поэтому держите под рукой микрокалькулятор и непременно потренируйтесь в ручных вычислениях!
Задача 97
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель при четырех выстрелах. Вычислить и . Построить многоугольник и функцию распределения. Найти .

Решение: по существу, текст условия совпадает с Задачей 96, но есть одно принципиальное отличие – здесь другая случайная величина. А именно, под страхом расстрела совершается серия из и строго из 4 выстрелов, вероятность попадания в каждом из которых составляет .

Очевидно, что испытания независимы, попаданий может быть 0, 1, 2, 3 или 4, и посему случайная величина распределена по биномиальному закону.
Составим ряд распределения данной случайной величины. Используем формулу Бернулли:
для – всех возможных результатов рассматриваемой серии выстрелов.

И перед вычислениями удобно сразу «забить» значения
в Калькулятор (Пункт 6), чтобы контролировать правильность каждого шага:

0)
– вероятность того, что в 4 выстрелах не будет попаданий;

1)
– вероятность того, что в 4 выстрелах будет ровно 1 попадание;

2)
– … ровно 2 попадания;

3)
– … ровно 3 попадания;

4)
– … ровно 4 попадания.

Таким образом, искомый закон распределения:

Проверка: , ч.т.п.

Пока таблица не ушла из поля зрения, построим многоугольник распределения:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию. И тут есть отличная новость – для биномиального распределения можно не использовать общий алгоритм расчёта этих числовых характеристик – по той причине, что существуют готовые формулы:

– среднеожидаемое количество попаданий;

– рассеяние количества попаданий относительно матожидания.

Всегда бы так!

Составим функцию распределения вероятностей:

Я не буду вновь останавливаться на алгоритме её построения, и если что-то не понятно, то смотрите по ссылке выше. Раз ступенька, два ступенька – будет график:

Найдём – вероятность того, что значение случайной величины отклонится от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение:
и искомая вероятность:

Готово.

Как вариант, в разобранной задаче может быть предложена другая случайная величина: не количество попаданий, а – количество промахов. Нетрудно догадаться, что в этом случае вероятности «поменяются местами» , и числовые характеристики с графиками будут другими.

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

И, конечно же, задачка для самостоятельного решения. Ввиду важности и распространённости биномиального распределения, обязательно прорешайте эту задачу и постукайте пальцами по клавишам микрокалькулятора:

Задача 98
Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,9. В контрольной партии 3 прибора. Составить закон распределения случайной величины
– число приборов, удовлетворяющих требованиям качества.
Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Построить график функции распределения .

Возвращаемся к знакомой фамилии:

2.3.3. Распределение Пуассона

2.3.1. Геометрическое распределение вероятностей

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин