Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

2.5.2. Показательное распределение вероятностей

Показательным или экспоненциальным называют распределение, которое характеризуется следующей функцией плотности:

, где

Убедимся в том, что перед нами не «подделка». Поскольку и несобственный интеграл:

, то функция действительно задаёт закон распределения непрерывной случайной величины.

Используя стандартный алгоритм, легко найти функцию распределения данной случайной величины:

и опять же через общие формулы нетрудно получить числовые характеристики экспоненциального распределения:

Большим достоинством показательного распределения является тот факт, что оно определяется всего лишь одним параметром. Всего лишь одним, Карл! И по этой причине нам достаточно разобрать одну-единственную задачу, проще всего для . Как-то так получилось, что во всех примерах параграфа Равномерное распределение мы начинали с функции , и поэтому для разнообразия зайдём в лес с другой стороны:

Задача 117
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти плотность распределения вероятностей ;
3) схематично построить графики функций и ;
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию ;
5) определить вероятность того, что примет значение из интервала .

Одним словом, обычная задача на НСВ, бессмысленная и беспощадная, заметьте, кстати, что в условии ничего не сказано о том, что эта величина распределена по экспоненциальному закону.

Решаем:

1) В силу непрерывности функции распределения:
– при этом и только при этом значении предложенная функция задаёт закон распределения непрерывной случайной величины:

, что соответствует шаблону для , таким образом, мы имеем дело с экспоненциальным распределением.

2) Найдём функцию плотности распределения:
, что полностью соответствует шаблону.

На всякий случай производная сложной функции: .

3) Условие допускает схематическое построение графиков, но зачем занижать планку? Даже при их ручном построении не составляет никакого труда найти пару дополнительных точек и проявить маломальскую аккуратность.

Вычислим пару опорных значений: , и простенький предел . Таким образом, прямая (изображена пунктиром) является горизонтальной асимптотой для графика при :

Показательное распределение нашло широкое применение в прикладных задачах, и пока чертёж не уехал вверх, приведу конкретный пример. Пусть на промежутке переменная «икс» обозначает время и в момент времени начинает эксплуатироваться некий прибор, например, обычная лампочка. Тогда экспоненциальная случайная величина характеризует время работы лампочки до перегорания. И тогда функция описывает вероятность того, что лампочка проработает МЕНЬШЕ, чем прошедшее время . По понятным причинам при увеличении эта вероятность стремится к единице, что хорошо иллюстрирует вышеприведённый график.

Кстати, о чём идёт речь в 5-м пункте условия? В контексте рассматриваемого примера, нам нужно найти – вероятность того, что лампочка проработает более 2 тыс. часов (значения, естественно, условные). Давайте сразу и вычислим эту вероятность:

5)
Ситуацию наглядно иллюстрирует чертёж ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:

Площадь между графиком и осью абсцисс равна единице (проверено в начале параграфа), и значительная часть этой площади (а именно, ) сосредоточена на промежутке от 0 до 2.
Применительно к «ламповому» примеру, определённый интеграл равен вероятности того, что лампочка проработает от 0 до тыс. часов. В частности, как раз:
.
Соответственно, несобственный интеграл – есть вероятность того, что лампочка проработает более тыс. часов, и Пункт 5) можно решить вторым способом:

4) Вычислим математическое ожидание и дисперсию.

Несмотря на то, что существуют готовые формулы для расчёта этих характеристик, решать, конечно же, будем подробно. По формуле математического ожидания:

Сначала удобно найти неопределенный интеграл:

Вспоминаем интегрирование по частям:

– произвольную константу приплюсовывать не надо, т.к. она всё равно сократится.

Таким образом:

Примечание: , т.к. знаменатель более высокого порядка роста.

Дисперсию вычислим по формуле , и из избушки на курьих ножках появляется следующий интеграл:

Как и в случае с матожиданием, сначала проясним первообразную:

По канонам жанра тут нужно дважды интегрировать по частям, но решение облегчается тем, что после 1-го применения формулы мы сталкиваемся с только что решённым интегралом:

Таким образом, несобственный интеграл:

Примечание: по той же самой причине.

Таким образом:

Проверим полученные результаты с помощью готовых формул:

Готово.

Показательное распределение нашло широкое применение в теории надёжности, этой теме, в частности, посвящены отдельные главы учебного пособия В.Е. Гмурмана. Помимо лампочек и более грустных примеров существуют и другие приложения. Так, например, в простейшем потоке событий время ожидания каждого последующего события распределено именно по экспоненциальному закону.

Ну а сейчас пришло время зажечь новые огни и перейти к кульминационному параграфу под названием:

2.5.3. Нормальное распределение вероятностей

2.5.1. Равномерное распределение вероятностей

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин